ĐKXĐ : \(4x^2+5x+1\ge0\Leftrightarrow\left(4x+1\right)\left(x+1\right)\ge0\Rightarrow\orbr{\begin{cases}x\le-1\\x\ge-\frac{1}{4}\end{cases}}\)
\(\sqrt{4x^2+5x+1}-2\sqrt{x^2-x+1}=9x-3\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{4x^2+5x+1}-\frac{2\sqrt{7}}{3}-2\sqrt{x^2-x+1}+\frac{2\sqrt{7}}{3}-9x+3=0\)
\(\Leftrightarrow\frac{4x^2+5x+1-\frac{28}{9}}{\sqrt{4x^2+5x+1}+\frac{2\sqrt{7}}{3}}-2\left(\frac{x^2-x+1-\frac{7}{9}}{\sqrt{x^2-x+1}+\frac{\sqrt{7}}{3}}\right)+3\left(3x-1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\frac{4x^2+5x-\frac{19}{9}}{\sqrt{4x^2+5x+1}+\frac{2\sqrt{7}}{3}}-2.\frac{x^2-x+\frac{2}{9}}{\sqrt{x^2-x+1}+\frac{\sqrt{7}}{3}}+3\left(3x-1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(x-\frac{1}{3}\right)\left(4x+\frac{19}{3}\right)}{\sqrt{4x^2+5x+1}+\frac{2\sqrt{7}}{3}}-\frac{2\left(x-\frac{2}{3}\right)\left(x-\frac{1}{3}\right)}{\sqrt{x^2-x+1}+\frac{\sqrt{7}}{3}}+9\left(x-\frac{1}{3}\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-\frac{1}{3}\right)\left(\frac{4x+\frac{19}{3}}{\frac{2\sqrt{7}}{3}}-\frac{2x-\frac{4}{3}}{\sqrt{x^2-x+1}+\frac{\sqrt{7}}{2}}+9\right)=0\)
\(\Rightarrow x=\frac{1}{3}\)(TMĐKXĐ)
\(ĐK:\orbr{\begin{cases}x\le-1\\x\ge-\frac{1}{4}\end{cases}}\)
Đặt \(\sqrt{4x^2+5x+1}=a;2\sqrt{x^2-x+1}=b\Rightarrow a^2-b^2=9x-3\)
Khi đó phương trình trở thành \(a-b=a^2-b^2\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(a+b-1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}a-b=0\\a+b=1\end{cases}}\)
* Với \(a-b=0\Rightarrow a=b\), khi đó ta có phương trình \(\sqrt{4x^2+5x+1}=2\sqrt{x^2-x+1}\Leftrightarrow4x^2+5x+1=4x^2-4x+4\)
\(\Leftrightarrow9x=3\Leftrightarrow x=\frac{1}{3}\)
* Với a + b = 1 thì a = 1 - b hay \(\sqrt{4x^2+5x+1}=1-2\sqrt{x^2-x+1}\)\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}4x^2+5x+1=4x^2-4x+5-2\\1-2\sqrt{x^2-x+1}\ge0\end{cases}}\)\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}9x-2=0\\1-2\sqrt{x^2-x+1}\ge0\end{cases}}\)(vô nghiệm)
Vậy phương trình có 1 nghiệm duy nhất là\(\frac{1}{3}\)
Ngoài ra còn có một cách liên hợp khá hay (vô thống kê hỏi đáp của mình xem ảnh)
