Giải PT nghiệm nguyên: \(2x^3+2y^3+5xy+1=0\)
Giải:
Nhân với 108 thì:
\(PT\Leftrightarrow216x^3-216y^3+540xy+108=0\)
\(\Leftrightarrow216x^3-216y^3+125+540xy-17=0\)
\(\Leftrightarrow6x-6y+5.36x^2+36y^2+25+36xy-30y-30x=17\)
Đến đây đưa về PT ước số.
P/s: Đến đây là tự làm nhé bạn
\(2x^3-2y^3+5xy+1=0\Leftrightarrow2\left(x^3-y^3\right)+5xy+1=0\)\(\Leftrightarrow2\left(x-y\right)\left(x^2+xy+y^2\right)+5xy+1=0\Leftrightarrow2\left(x-y\right)\left[\left(x-y\right)^2+3xy\right]+5xy+1=0\)
Đặt x - y = a, xy = b thì phương trình trở thành: \(2a\left(a^2+3b\right)+5b+1=0\Leftrightarrow2a^3+1=-b\left(6a+5\right)\)\(\Rightarrow2a^3+1⋮6a+5\Rightarrow216a^3+108⋮6a+5\Rightarrow\left[\left(6a\right)^3+5^3\right]-17⋮6a+5\)
Dễ thấy \(\left[\left(6a\right)^3+5^3\right]⋮6a+5\)nên \(17⋮6a+5\)
\(\Rightarrow6a+5\inƯ\left(17\right)=\left\{\pm1;\pm17\right\}\)
Dễ dàng suy ra được \(a\in\left\{-1;2\right\}\)(vì a nguyên)
Xét hai trường hợp:
* a = -1 \(\Rightarrow b=-1\Rightarrow xy=x-y=-1\)(vô lí, không có nghiệm nguyên)
* a = 2\(\Rightarrow b=-1\)dễ dàng giải được \(x=1;y=-1\)
Thử lại ta thấy cặp nghiệm \(\left(x,y\right)=\left(1,-1\right)\)thỏa mãn phương trình.
