Các câu hỏi tương tự
Giải Phương Trình:
\(\frac{x-a}{bc}+\frac{x-b}{ac}+\frac{x-c}{ab}=2\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)
Gỉai phương trình:
\(\frac{x-a}{bc}+\frac{x-b}{ca}+\frac{x-c}{ab}=2\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)
Câu 19 , Đăk Lắk Cho các số thực dương x ; y ; z thỏa mãn x+2y+3z2Tìm S_{max}sqrt{frac{xy}{xy+3z}}+sqrt{frac{3yz}{3yz+x}}+sqrt{frac{3xz}{3xz+4y}} GiảiĐặt hept{begin{cases}xa2yb3zcend{cases}}left(a;b;cright)0Rightarrow a+b+c2Khi đó Ssqrt{frac{a.frac{b}{2}}{a.frac{b}{2}+c}}+sqrt{frac{frac{b}{2}.c}{frac{b}{2}.c+a}}+sqrt{frac{a.c}{a.c+2b}} sqrt{frac{ab}{ab+2c}}+sqrt{frac{bc}{bc+2a}}+sqrt{frac{ac}{ac+2b}} sqrt{frac{ab}{ab+left(a+b+cright)c}}...
Đọc tiếp
Câu 19 , Đăk Lắk
Cho các số thực dương x ; y ; z thỏa mãn \(x+2y+3z=2\)
Tìm \(S_{max}=\sqrt{\frac{xy}{xy+3z}}+\sqrt{\frac{3yz}{3yz+x}}+\sqrt{\frac{3xz}{3xz+4y}}\)
Giải
Đặt \(\hept{\begin{cases}x=a\\2y=b\\3z=c\end{cases}}\left(a;b;c\right)>0\Rightarrow a+b+c=2\)
Khi đó \(S=\sqrt{\frac{a.\frac{b}{2}}{a.\frac{b}{2}+c}}+\sqrt{\frac{\frac{b}{2}.c}{\frac{b}{2}.c+a}}+\sqrt{\frac{a.c}{a.c+2b}}\)
\(=\sqrt{\frac{ab}{ab+2c}}+\sqrt{\frac{bc}{bc+2a}}+\sqrt{\frac{ac}{ac+2b}}\)
\(=\sqrt{\frac{ab}{ab+\left(a+b+c\right)c}}+\sqrt{\frac{bc}{bc+\left(a+b+c\right)a}}+\sqrt{\frac{ac}{ac+\left(a+b+c\right)b}}\)
\(=\sqrt{\frac{ab}{ab+ac+bc+c^2}}+\sqrt{\frac{bc}{bc+a^2+ab+ac}}+\sqrt{\frac{ac}{ac+ab+b^2+bc}}\)
\(=\sqrt{\frac{ab}{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}}+\sqrt{\frac{bc}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}+\sqrt{\frac{ac}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}}\)
\(\le\frac{\frac{a}{a+c}+\frac{b}{b+c}}{2}+\frac{\frac{b}{a+b}+\frac{c}{a+c}}{2}+\frac{\frac{a}{a+b}+\frac{c}{b+c}}{2}\left(Cauchy\right)\)
\(=\frac{1}{2}\left(\frac{a}{a+c}+\frac{c}{a+c}\right)+\frac{1}{2}\left(\frac{b}{b+c}+\frac{c}{b+c}\right)+\frac{1}{2}\left(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{a+b}\right)\)
\(=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}\)
Dấu "=" tại a = b = c
20, Thanh hóa
Cho a;b;c > 0 thỏa abc = 1
CMR \(\frac{ab}{a^4+b^4+ab}+\frac{bc}{b^4+c^4+bc}+\frac{ac}{a^4+c^4+ac}\le1\)
Giải
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki có
\(\left(a^2+b^2\right)^2\le\left(1+1\right)\left(a^4+b^4\right)\)
\(\Rightarrow a^4+b^4\ge\frac{\left(a^2+b^2\right)^2}{2}=\frac{\left(a^2+b^2\right)\left(a^2+b^2\right)}{2}\ge\frac{2ab\left(a^2+b^2\right)}{2}=ab\left(a^2+b^2\right)\)
\(\Rightarrow a^4+b^4\ge ab\left(a^2+b^2\right)\)
Khi đó \(\frac{ab}{a^4+b^4+ab}\le\frac{ab}{ab\left(a^2+b^2\right)+ab}=\frac{1}{a^2+b^2+1}\)
Chứng minh tương tự \(\frac{bc}{b^4+c^4+bc}\le\frac{1}{b^2+c^2+1}\)
\(\frac{ac}{a^4+c^4+ac}\le\frac{1}{a^2+c^2+1}\)
Khi đó \(VT\le\frac{1}{a^2+b^2+1}+\frac{1}{b^2+c^2+1}+\frac{1}{a^2+c^2+1}=A\)
Ta sẽ chứng minh A < 1
Thật vậy
Đặt \(\left(a^2;b^2;c^2\right)\rightarrow\left(x^3;y^3;z^3\right)\)
\(\Rightarrow xyz=1\)
Khi đó \(A=\frac{1}{x^3+y^3+1}+\frac{1}{y^3+z^3+1}+\frac{1}{z^3+x^3+1}\)
Áp dụng bđt Cô-si có \(x^3+y^3=\left(x+y\right)\left(x^2+y^2-xy\right)\ge\left(x+y\right)\left(2xy-xy\right)=xy\left(x+y\right)\)
\(\Rightarrow x^3+y^3\ge\left(x+y\right)xy\)
\(\Rightarrow x^3+y^3+1\ge\left(x+y\right)xy+1=\left(x+y\right)xy+xyz=xy\left(x+y+z\right)\)
\(\Rightarrow\frac{1}{x^3+y^3+1}\le\frac{1}{xy\left(x+y+z\right)}=\frac{xyz}{xy\left(x+y+z\right)}=\frac{z}{x+y+z}\)
Chứng minh tương tự \(\frac{1}{y^3+z^3+1}\le\frac{x}{x+y+z}\)
\(\frac{1}{x^3+z^3+1}\le\frac{z}{x+y+z}\)
Khi đó \(A\le\frac{x+y+z}{x+y+z}=1\left(đpcm\right)\)
Dấu "=" tại x = y = z = 1
Đang trong quá trình cập nhật những câu tiếp theo , những câu tiếp theo sẽ ở trong phần bình luận
1/ Rút gọn biểu thức:Gleft(frac{x-sqrt{x}}{sqrt{x}-1}-frac{sqrt{x}+1}{x+sqrt{x}}right)divfrac{sqrt{x}+1}{x}2/ Cho biểu thức: Mx-frac{2x-2sqrt{x}}{sqrt{x}-1}+frac{xsqrt{x}+1}{x-sqrt{x}+1}+1a. Tìm ĐKXĐb. Rút gọn Mc. Tìm giá trị nhỏ nhất của M3/ Chứng minh: sqrt{frac{1}{a^2}+frac{1}{b^2}+frac{1}{left(a+bright)^2}}|frac{1}{a}+frac{1}{b}+frac{1}{a+b}|với ane0,bne0,a+bne04/ Biết a,b,c là số dương và ab + bc + ac 1. Hãy tính tổng:Masqrt{frac{left(1+b^2right)left(1+c^2right)}{1+a^2}}+bsqrt{frac{left(1+a...
Đọc tiếp
1/ Rút gọn biểu thức:\(G=\left(\frac{x-\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1}-\frac{\sqrt{x}+1}{x+\sqrt{x}}\right)\div\frac{\sqrt{x}+1}{x}\)
2/ Cho biểu thức: \(M=x-\frac{2x-2\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1}+\frac{x\sqrt{x}+1}{x-\sqrt{x}+1}+1\)
a. Tìm ĐKXĐ
b. Rút gọn M
c. Tìm giá trị nhỏ nhất của M
3/ Chứng minh: \(\sqrt{\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{\left(a+b\right)^2}}=|\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{a+b}|\)với \(a\ne0,b\ne0,a+b\ne0\)
4/ Biết a,b,c là số dương và ab + bc + ac =1. Hãy tính tổng:
\(M=a\sqrt{\frac{\left(1+b^2\right)\left(1+c^2\right)}{1+a^2}}+b\sqrt{\frac{\left(1+a^2\right)\left(1+c^2\right)}{1+b^2}}+c\sqrt{\frac{\left(1+a^2\right)\left(1+b^2\right)}{1+c^2}}\)
1) TÌm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức P sqrt{x-1}+sqrt{3-x} 2) Giải phương trình x^2+9x+21sqrt{2x+9}3) Cho x ,y thay đổi thỏa mãn0 x 1;0 y 1Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P x+y+xsqrt{1-y^2}+ysqrt{1-x^2} 4) Cho các số dương a,b,c,d thỏa mãn ab+bc+ca1 Chứng minh rằng: frac{1}{ab}+frac{1}{bc}+frac{1}{ca}gesqrt{frac{left(a+bright)left(a+cright)}{a^2}}+sqrt{frac{left(b+cright)left(b+aright)}{b^2}}+sqrt{frac{left(c+aright)left(c+bright)}{c^2}}
Đọc tiếp
1) TÌm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức P =\(\sqrt{x-1}+\sqrt{3-x}\)
2) Giải phương trình \(x^2+9x+21=\sqrt{2x+9}\)
3) Cho x ,y thay đổi thỏa mãn\(0< x< 1;0< y< 1\)
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P =\(x+y+x\sqrt{1-y^2}+y\sqrt{1-x^2}\)
4) Cho các số dương a,b,c,d thỏa mãn \(ab+bc+ca=1\)
Chứng minh rằng: \(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}\ge\sqrt{\frac{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}{a^2}}+\sqrt{\frac{\left(b+c\right)\left(b+a\right)}{b^2}}+\sqrt{\frac{\left(c+a\right)\left(c+b\right)}{c^2}}\)
1.Giải phương trình: left(1+frac{1}{x}right)^3.left(1+x^3right)162.Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn abc1. Chứng minh rằng:frac{1}{a^3.left(7b+3cright)}+frac{1}{b^3.left(7c+3aright)}+frac{1}{c^3.left(7a+3bright)}gefrac{1}{10}.left(frac{1}{a}+frac{1}{b}+frac{1}{c}right)3.Tìm tham số m để phương trình ẩn x sau left(x^2+4x+12right).left(x^2+12x+20right)mcó 4 nghiệm phân biệtGIÚP MÌNH VỚI NHA
Đọc tiếp
1.Giải phương trình: \(\left(1+\frac{1}{x}\right)^3.\left(1+x^3\right)=16\)
2.Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn abc=1. Chứng minh rằng:
\(\frac{1}{a^3.\left(7b+3c\right)}+\frac{1}{b^3.\left(7c+3a\right)}+\frac{1}{c^3.\left(7a+3b\right)}\ge\frac{1}{10}.\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)
3.Tìm tham số m để phương trình ẩn x sau \(\left(x^2+4x+12\right).\left(x^2+12x+20\right)=m\)có 4 nghiệm phân biệt
GIÚP MÌNH VỚI NHA
ta có:(a+b)(b+c)(c+a)(a+b+c)(ab+bc+ca)-abcgeleft(a+b+cright)left(ab+bc+caright)-frac{1}{9}left(a+b+cright)left(ab+bc+caright)frac{8}{9}left(a+b+cright)left(ab+bc+caright)frac{x}{x+yz}+frac{y}{y+zx}+frac{z}{z+xy}frac{x}{left(x+yright)left(x+zright)}+frac{y}{left(y+xright)left(y+zright)}+frac{z}{left(z+xright)left(z+yright)}frac{2left(xy+yz+zxright)}{left(x+yright)left(y+zright)left(z+xright)}lefrac{9}{4left(xy+yz+zxright)}frac{9}{4}
Đọc tiếp
ta có:
(a+b)(b+c)(c+a)=(a+b+c)(ab+bc+ca)-abc\(\ge\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)-\frac{1}{9}\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)=\frac{8}{9}\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)\)
\(\frac{x}{x+yz}+\frac{y}{y+zx}+\frac{z}{z+xy}=\frac{x}{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}+\frac{y}{\left(y+x\right)\left(y+z\right)}+\frac{z}{\left(z+x\right)\left(z+y\right)}=\frac{2\left(xy+yz+zx\right)}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}\le\frac{9}{4\left(xy+yz+zx\right)}=\frac{9}{4}\)
\(\frac{\left(b-c\right)\left(1+a\right)^2}{x+a^2}\)+\(\frac{\left(c-a\right)\left(1+b\right)^2}{x+b^2}\)+\(\frac{\left(a-b\right)\left(1+c\right)^2}{x+c^2}\)=0 (a,b,c là hằng số và đôi một khác nhau)
Giải phương trình.
ta có:ab+bc+acabcLeftrightarrowfrac{1}{a}+frac{1}{b}+frac{1}{c}1Áp dụng BĐT :frac{1}{x+y}lefrac{1}{4}left(frac{1}{x}+frac{1}{y}right)ta có:frac{1}{2a+b+c}frac{1}{left(a+cright)+left(a+bright)}lefrac{1}{4}left(frac{1}{a+b}+frac{1}{a+c}right).lefrac{1}{4}left(frac{1}{4}left(frac{1}{a}+frac{1}{b}right)+frac{1}{4}left(frac{1}{a}+frac{1}{c}right)right)frac{1}{16}left(frac{2}{a}+frac{1}{b}+frac{1}{c}right).Tương tự ta có :frac{1}{a+2b+c}lefrac{1}{16}left(frac{1}{a}+frac{2}{b}+frac{1}{c}right);frac{1}...
Đọc tiếp
ta có:\(ab+bc+ac=abc\Leftrightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=1\)
Áp dụng BĐT :\(\frac{1}{x+y}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)\)ta có:
\(\frac{1}{2a+b+c}=\frac{1}{\left(a+c\right)+\left(a+b\right)}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+c}\right).\)\(\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)+\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{c}\right)\right)=\frac{1}{16}\left(\frac{2}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right).\)
Tương tự ta có :\(\frac{1}{a+2b+c}\le\frac{1}{16}\left(\frac{1}{a}+\frac{2}{b}+\frac{1}{c}\right);\frac{1}{a+b+2c}\le\frac{1}{16}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{2}{c}\right).\)
Cộng ba BĐT lại ta có:
\(Q\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)=\frac{1}{4}.\)
Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c=3\).Max=\(\frac{1}{4}\)