Question

giải phương trình : \(\frac{\sqrt{x-2018}-1}{x-2018}+\frac{\sqrt{y-2019}-1}{y-2019}+\frac{\sqrt{z-2029}-1}{z-2020}=\frac{3}{4}\)

tìm nghiệm nguyên của pt : \(2x^2+4x=19-3y^2\)

cm với mọi số tự nhiên n thì : \(a_n=n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)+1\) là số chính phương

Answer 1

ĐKXĐ: ...

Đặt \(\left(\sqrt{x-2018};\sqrt{y-2019};\sqrt{z-2020}\right)=\left(a;b;c\right)\) \(\Rightarrow a;b;c>0\)

\(\frac{a-1}{a^2}+\frac{b-1}{b^2}+\frac{c-1}{c^2}=\frac{3}{4}\)

\(\Leftrightarrow\frac{4a-4}{a^2}+\frac{4b-4}{b^2}+\frac{4c-4}{c^2}=3\)

\(\Leftrightarrow1-\frac{4a-a}{a^2}+1-\frac{4b-4}{b^2}+1-\frac{4c-4}{c^2}=0\)

\(\Leftrightarrow\frac{a^2-4a+4}{a^2}+\frac{b^2-4b+4}{b^2}+\frac{c^2-4c+4}{c^2}=0\)

\(\Leftrightarrow\left(\frac{a-2}{a}\right)^2+\left(\frac{b-2}{b}\right)^2+\left(\frac{c-2}{c}\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a-2=0\\b-2=0\\c-2=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=2\\b=2\\c=2\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{x-2018}=2\\\sqrt{y-2019}=2\\\sqrt{z-2020}=2\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=2022\\y=2023\\z=2024\end{matrix}\right.\)

Answer 2

\(2x^2+4x+2=21-3y^2\)

\(\Leftrightarrow2\left(x+1\right)^2=3\left(7-y^2\right)\)

Do \(\left(x+1\right)^2\ge0\Rightarrow7-y^2\ge0\) \(\Rightarrow y^2\le7\) (1)

Mà \(2\left(x+1\right)^2\) là một số tự nhiên chẵn và 3 là số lẻ

\(\Rightarrow7-y^2\) là một số chẵn \(\Rightarrow y^2\) là một số lẻ (2)

Từ (1); (2) \(\Rightarrow y^2\) là số chính phương lẻ và nhỏ hơn 7

\(\Rightarrow y^2=1\Rightarrow y=\pm1\)

\(\Rightarrow2\left(x+1\right)^2=3\left(7-1\right)=18\)

\(\Rightarrow\left(x+1\right)^2=9\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x+1=3\\x+1=-3\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=2\\x=-4\end{matrix}\right.\)

Answer 3

Ta có:

\(a_n=n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)+1\)

\(a_n=n\left(n+3\right)\left(n+1\right)\left(n+2\right)+1\)

\(a_n=\left(n^2+3n\right)\left(n^2+3n+2\right)+1\)

\(a_n=\left(n^2+3n\right)^2+2\left(n^2+3n\right)+1\)

\(a_n=\left(n^2+3n+1\right)^2\)

\(\Rightarrow a_n\) là số chính phương với mọi n tự nhiên