Question

Giải hpt: \(\hept{\begin{cases}x-3y-2+\sqrt{y\left(x-y-1\right)+x}=0\\3\sqrt{8-x}-\frac{4y}{\sqrt{y+1}+1}=x^2-14y-8\end{cases}}\)

Answer 1

Ta có:

\(x-3y-2+\sqrt{y\left(x-y-1\right)+x}=0\Leftrightarrow\left(x-y\right)-2\left(y+1\right)+\sqrt{\left(x-y\right)\left(y+1\right)}=0\)

Xét y=-1 thay vào tìm x

Xét y khác -1

\(pt\Leftrightarrow\frac{x-y}{y+1}-2+\sqrt{\frac{x-y}{y+1}}=0\) (2)

Đặt \(\sqrt{\frac{x-y}{y+1}}=a\left(a\ge0\right)\)

pt(2) trở thành

\(a^2+a-2=0\Leftrightarrow\left(a-1\right)\left(a+2\right)=0\)

Làm r nhưng mà làm lại hjhjhj 

Answer 2

\(\hept{\begin{cases}x-3y-2+\sqrt{y\left(x-y-1\right)+x}=0\left(1\right)\\3\sqrt{8-x}-\frac{4y}{\sqrt{y+1}+1}=x^2-14y-8\left(2\right)\end{cases}}\)

\(ĐK:\hept{\begin{cases}y\left(x-y-1\right)+x\ge0\\x\le8\\y\ge-1\end{cases}}\)

\(\left(1\right)\Leftrightarrow\sqrt{y\left(x-y-1\right)+x}=-\left(x-3y-2\right)\)\(\Leftrightarrow\sqrt{xy-y^2-y+x}=-\left(x-3y-2\right)\)

\(\Leftrightarrow-\sqrt{\left(x-y\right)\left(y+1\right)}=x-3y-2\)\(\Leftrightarrow-\sqrt{\left(x-y\right)\left(y+1\right)}=\left(x-y\right)-2\left(y+1\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)-2\left(y+1\right)+\sqrt{\left(x-y\right)\left(y+1\right)}=0\)(*)

* Với y = -1 thì từ (*) suy ra x = -1

Thay nghiệm \(\left(x,y\right)=\left(-1,-1\right)\)vào (2) thì ta thấy không đúng

* Với \(y\ne-1\)thì chia hai vế của phương trình (*) cho y + 1, ta được: \(\left(\frac{x-y}{y+1}\right)-2+\sqrt{\frac{x-y}{y+1}}=0\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}\sqrt{\frac{x-y}{y+1}}=1\left(tm\right)\\\sqrt{\frac{x-y}{y+1}}=-2\left(ktm\right)\end{cases}}\Leftrightarrow x-y=y+1\Leftrightarrow y=\frac{x-1}{2}\)

Khi đó \(\left(2\right)\Leftrightarrow3\sqrt{8-x}-\frac{4.\frac{x-1}{2}}{\sqrt{\frac{x-1}{2}+1}+1}=x^2-14.\frac{x-1}{2}-8\)

\(\Leftrightarrow3\sqrt{8-x}-\frac{2\left(x-1\right)}{\sqrt{\frac{x-1}{2}+1}+1}-x^2+7x+1=0\)

Đặt \(f\left(x\right)=3\sqrt{8-x}-\frac{2\left(x-1\right)}{\sqrt{\frac{x-1}{2}+1}+1}-x^2+7x+1\)

Ta có: \(f\left(-1\right)=6;f\left(8\right)=-3-6\sqrt{2}\Rightarrow f\left(-1\right).f\left(8\right)=-18-36\sqrt{2}< 0\)

\(\Rightarrow f\left(x\right)\)có ít nhất một nghiệm trên đoạn \(\left[-1;8\right]\)

Lại có f(7) = 0 \(\Rightarrow\)x = 7 là nghiệm của f(x) \(\Rightarrow y=3\)

Vậy hệ phương trình có 1 nghiệm \(\left(x,y\right)=\left(7,3\right)\)