Question

giải hệ pt 

\(\hept{\begin{cases}x+\frac{1}{y}=2\\y+\frac{1}{z}=2\\z+\frac{1}{x}=2\end{cases}}\)

Answer 1

Cộng 3 vế pt:

\(\left(x+\frac{1}{x}\right)+\left(y+\frac{1}{y}\right)+\left(z+\frac{1}{z}\right)=6\)

Điều kiện xác định: x;y;z#0

Với \(x;y;z\in R>0\) áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho 2 số dương:

\(VT\ge2\sqrt{\frac{x}{x}}+2\sqrt{\frac{y}{y}}+2\sqrt{\frac{z}{z}}=6=VP\)

Dấu "=" xảy ra khi: \(x=y=z=1\)

Với \(x;y;z\in R< 0\)thì \(\left(x+\frac{1}{x}\right)+\left(y+\frac{1}{y}\right)+\left(z+\frac{1}{z}\right)< 0\)mà \(6>0\Leftrightarrow pt\)vô nghiệm

Vậy: \(x=y=z=1\)

Answer 2

Đk: \(x,y,z\ne0\)Rút x và z từ các pt:

\(x=\frac{2y-1}{y}\)

\(z=\frac{1}{2-y}\)

Thay vào pt thứ 3 ta đk

\(\frac{1}{2-y}+\frac{1}{\frac{2y-1}{y}}=2\)

Giari ra đk: y=1(t/m)

Thay vào pt ta đk:x=1 và z=1(t/m)