Question

Giải các phương trình

a) \(1+\sqrt{x^2-2x+6}=2x;\)

b) \(\sqrt{x^2+7}-\sqrt{x^2-8}=2.\)

 

Answer 1

Lê Duy Khương vừa thiếu ĐKXĐ vừa sai ._.

a) \(1+\sqrt{x^2-2x+6}=2x\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x^2-2x+6}=2x-1\)

ĐKXĐ : \(x\ge\frac{1}{2}\)

Bình phương hai vế

<=> x² - 2x + 6 = 4x² - 4x + 1

<=> 4x² - 4x + 1 - x² + 2x - 6 = 0

<=> 3x² - 2x - 5 = 0 (*)

Dễ thấy (*) có a - b + c = 0 nên có hai nghiệm phân biệt x₁ = -1 (ktm) ; x₂ = 5/3 (tm)

Vậy phương trình có nghiệm x = 5/3

b) \(\sqrt{x^2+7}-\sqrt{x^2-8}=2\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x^2+7}=2+\sqrt{x^2-8}\)

ĐKXĐ : \(\orbr{\begin{cases}x\ge2\sqrt{2}\\x\le-2\sqrt{2}\end{cases}}\)

Đặt t = x² + 7

\(pt\Leftrightarrow\sqrt{t}=2+\sqrt{t-15}\)( t ≥ 15 )

Bình phương hai vế

<=> \(t=t-15+4\sqrt{t-15}+4\)

<=> \(4\sqrt{t-15}=11\)

<=> \(\sqrt{t-15}=\frac{11}{4}\)

<=> t - 15 = 121/16

<=> t = 361/16 (tm)

=> x² + 7 = 361/16

<=> x² = 249/16

<=> \(x=\frac{\pm\sqrt{249}}{4}\)

Vậy phương trình có nghiệm \(x=\frac{\pm\sqrt{249}}{4}\)

Answer 2

a)

    \(1+\sqrt{x^2-2x+6}=2x\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x^2-2x+6}=2x-1\)

\(\Leftrightarrow x^2-2x+6=\left(2x-1\right)^2\)

\(\Leftrightarrow x^2-2x+6=4x^2-4x+1\)

\(\Leftrightarrow4x^2-2x-5=0\)

 Ta có    \(\Delta'=b'^2-ac=\left(-1\right)^2-4.\left(-5\right)=21>0\)

        Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt

   \(x_1=\frac{1+\sqrt{21}}{4}\)    ; \(x_2=\frac{1-\sqrt{21}}{4}\)

b)

     \(\sqrt{x^2+7}-\sqrt{x^2-8}=2\)

     \(\sqrt{x^2+7}=2+\sqrt{x^2-8}\)  

  ĐKXĐ:  \(x\ne\pm\sqrt{8}\)

      Khi đó ta có

           \(x^2+7=x^2-8+2.2.\sqrt{x^2-8}+4\)

       \(\Leftrightarrow4\sqrt{x^2-8}=4-8-7=-11\)

       \(\Leftrightarrow\sqrt{x^2-8}=-\frac{11}{4}\)   ( vô lí )

  Vậy phương trình vô nghiệm

Answer 3

a) 1+\(\sqrt{x^2-2x+6}\)=2x

⇔\(\sqrt{x^2-2x+6}\)=2x-1

⇔ x²-2x+6= 4x²-4x+1

⇔x²-2x-4x²+4x=-6-1

⇔-3x²+2x=-7

 

Answer 4

a) 1+\(\sqrt{x^2-2x+6}\)=2x 

⇔\(\sqrt{x^2-2x+6}\)= 2x-1

⇔(\(\sqrt{x^2-2x+6}\))²= ( 2x-1)²

⇔x²-2x+6= 4x²-4x+1

⇔x²-2x-4x²+4x= -6+1

⇔-3x²+2x= -5

⇔ x( -3x+2) = -5

⇔\(\left\{{}\begin{matrix}x=-5\\-3x+2=-5\end{matrix}\right.\)⇔\(\left\{{}\begin{matrix}x=-5\\x=\dfrac{7}{3}\end{matrix}\right.\)

Vậy tập nghiệm của phương trình là S = \(\left\{-5;\dfrac{7}{3}\right\}\)

b) \(\sqrt{x^2+7}\)-\(\sqrt{x^2-8}\)=2

⇔\(\sqrt{x^2+7}\)= 2+\(\sqrt{x^2-8}\) ( đk : x> 2\(\sqrt{2}\); x≤2\(\sqrt{2}\)) (1)

đặt t= x²+7 , khi đó phương trình (1) trở thành:

\(\sqrt{t}\)= 2+\(\sqrt{t-15}\)

⇔t= t-15+4\(\sqrt{t-15}\)+4

⇔\(\sqrt{t-15}\)=\(\dfrac{11}{4}\)

⇔t-15=\(\dfrac{121}{16}\)

⇔t=\(\dfrac{361}{16}\)⇒x²+7=\(\dfrac{361}{16}\)⇒x= \(\dfrac{\pm\sqrt{249}}{4}\)

  Vậy phương trình có nghiệm là x=\(\dfrac{\pm\sqrt{249}}{4}\)

 

Answer 5

a) 1+\sqrt{x^2-2x+6}x2−2x+6​=2x 

⇔\sqrt{x^2-2x+6}x2−2x+6​= 2x-1

⇔(\sqrt{x^2-2x+6}x2−2x+6​)²= ( 2x-1)²

⇔x²-2x+6= 4x²-4x+1

⇔x²-2x-4x²+4x= -6+1

⇔-3x²+2x= -5

⇔ x( -3x+2) = -5

⇔\left\{{}\begin{matrix}x=-5\\-3x+2=-5\end{matrix}\right.{x=−5−3x+2=−5​⇔\left\{{}\begin{matrix}x=-5\\x=\dfrac{7}{3}\end{matrix}\right.{x=−5x=37​​

Vậy tập nghiệm của phương trình là S = \left\{-5;\dfrac{7}{3}\right\}{−5;37​}

b) \sqrt{x^2+7}x2+7​-\sqrt{x^2-8}x2−8​=2

⇔\sqrt{x^2+7}x2+7​= 2+\sqrt{x^2-8}x2−8​ ( đk : x> 2\sqrt{2}2​; x≤2\sqrt{2}2​) (1)

đặt t= x²+7 , khi đó phương trình (1) trở thành:

\sqrt{t}t​= 2+\sqrt{t-15}t−15​

⇔t= t-15+4\sqrt{t-15}t−15​+4

⇔\sqrt{t-15}t−15​=\dfrac{11}{4}411​

⇔t-15=\dfrac{121}{16}16121​

⇔t=\dfrac{361}{16}16361​⇒x²+7=\dfrac{361}{16}16361​⇒x= \dfrac{\pm\sqrt{249}}{4}4±249​​

  Vậy phương trình có nghiệm là x=\dfrac{\pm\sqrt{249}}{4}4±249​​