Question

Giả sử x = a/m , y = b/m ( a,b,m thuộc Z, m > 0 ) và x < y. Hãy chứng tỏ rằng nếu chọn z = a+b/m thì ta có x < z < y

Answer 1

theo đề bài ta có :

\(x=\frac{a}{m}\); \(y=\frac{b}{m}\)( a,b,m \(\in\)Z , m > 0 )

vì x < y \(\Leftrightarrow\)\(\frac{a}{m}< \frac{b}{m}\)

\(\Rightarrow a< b\Rightarrow a+a< b+a\Rightarrow2a< a+b\)

\(\Rightarrow\frac{2a}{2m}< \frac{a+b}{2m}\Rightarrow\frac{a}{m}< \frac{a+b}{2m}\Rightarrow x< z\left(1\right)\)

Vì a < b \(\Rightarrow\)a + b < b + c

\(\Rightarrow a+b< 2b\)

\(\Rightarrow\frac{a+b}{2m}< \frac{2b}{2m}\Rightarrow\frac{a+b}{2m}< \frac{b}{m}\Rightarrow z< y\left(2\right)\)

Từ ( 1 ) và ( 2 ) \(\Rightarrow\)\(x< z< y\)

Answer 2

Theo bài ra ta có \(x< y\Rightarrow\frac{a}{m}< \frac{b}{m}\Rightarrow\frac{a}{2m}< \frac{b}{2m}\)

\(\Rightarrow\frac{a}{2m}+\frac{a}{2m}< \frac{a}{2m}+\frac{b}{2m}\Rightarrow\frac{2a}{2m}< \frac{a+b}{2m}\Rightarrow\frac{a}{m}< \frac{a+b}{2m}\Rightarrow x< z\) (1)

Từ x < y, ta lại có \(\frac{a}{2m}< \frac{b}{2m}\Rightarrow\frac{a}{2m}+\frac{b}{2m}< \frac{b}{2m}+\frac{b}{2m}\Rightarrow\frac{a+b}{2m}< \frac{2b}{2m}\Rightarrow\frac{a+b}{2m}< \frac{b}{m}\Rightarrow z< y\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra đpcm