\(E=1^2+2^2+3^2+....+59^2\)
\(E=1+2\left(1+1\right)+3\left(2+1\right)+...+59\left(58+1\right)\)
\(E=1+1\times2+2+2\times3+3+....+58\times59+59\)
\(E=\left(1+2+3+...+59\right)+\left(1\times2+2\times3+....+58\times59\right)\)
Ta đặt :
\(A=1+2+3+...+59\)
Số số hạng là \(\left(59-1\right)\div1+1=59\) số hạng
Tổng là \(\left(59+1\right)\times59\div2=1770\)
=> \(A=1770\)
Ta đặt
\(B=1\times2+2\times3+...+58\times59\)
\(3B=1\times2\times3+2\times3\times3+....+58\times59\times3\)
\(3B=1\times2\times3+2\times3\times\left(4-1\right)+...+58\times59\times\left(57-54\right)\)
\(3B=1\times2\times3+2\times3\times4-2\times3\times1+...+58\times59\times57-58\times59\times54\)
\(3B=58\times59\times57\)
\(B=58\times59\times19\)
\(B=65018\)
=> \(E=A+B\)
=> \(E=1770+65018\)
=> \(E=66788\)
Trước hết ta sẽ chứng minh \(1^2+2^2+...+n^2=\dfrac{n\left(n+1\right)\left(2n+1\right)}{6}\) (*). Thật vậy, với \(n=1\) thì hiển nhiên \(1^2=\dfrac{1\left(1+1\right)\left(2.1+1\right)}{6}\). Giả sử (*) đúng đến \(n=k\), khi đó \(1^2+2^2+...+k^2=\dfrac{k\left(k+1\right)\left(2k+1\right)}{6}\). Ta cần chứng minh (*) đúng với \(n=k+1\). Ta có:
\(1^2+2^2+...+k^2+\left(k+1\right)^2\)
\(=\dfrac{k\left(k+1\right)\left(2k+1\right)}{6}+\left(k+1\right)^2\)
\(=\dfrac{\left(k+1\right)\left(2k^2+k+6\left(k+1\right)\right)}{6}\)
\(=\dfrac{\left(k+1\right)\left(2k^2+7k+6\right)}{6}\)
\(=\dfrac{\left(k+1\right)\left(k+2\right)\left(2k+3\right)}{6}\)
\(=\dfrac{\left(k+1\right)\left[\left(k+1\right)+1\right]\left[2\left(k+1\right)+1\right]}{6}\).
Vậy (*) đúng với \(n=k+1\). Ta có đpcm. Thay \(n=59\) thì ta có:
\(E=1^2+2^2+...+59^2=\dfrac{59\left(59+1\right)\left(2.59+1\right)}{6}=70210\)
