Question

Đố: Cho \(\Delta ABC\)có độ dài các cạnh AB, BC, AC lần lượt là 3 số tự nhiên liên tiếp tăng dần. Kẻ đường cao AH, trung tuyến AM. Tính HM.

Answer 1

​Đặt AB = x , BC = x + 1 , AC = x + 2 , MH = a Xét 3 trường hợp 

Trường hợp 1 nếu góc B < 90o => BC > AC (khác đề)

Trường hợp 2 nếu góc B = 90 độ (khác đề)

Trường hợp 3 nếu góc B > 90o => AC > BC ( đúng) 

Nên ta sẽ đi xét trường hợp 3 : B > 90o ( bạn phải vẽ B > 90o nhé) HB = MH - BM

=> HB = a - (x+1)/2

=> HB^2 = (a - (x+1)/2)^2 HC = HB + BC

=> HC = a - x/2 + x

=> HC^2 = (a + (x+1)/2)^2 

Ta có AH^2 = AC^2 - HC^2 AH^2 = AB^2 - HB^2

 => AC^2 - HC^2 = AB^2 - HB^2 

<=> (x + 2)^2 - (a+ (x+1)/2)^2 = x^2 - (a - (x+1)/2)^2 

<=> x^2 - 4x - 4 - a^2 - ax - a - (x^2+2x+1)/4 = x^2 - a^2 + ax + a - (x^2+2x+1)/4 

<=> 2ax + 2a - 4x - 4 = 0 

<=> 2a(x+1) - 4(x+1) = 0 

<=> (x + 1).2(a - 2) = 0 

<=> x = -1 hoặc a = 2 hay AB = -1 hoặc HM = 2