Đề mình tổng hợp cho các bạn thi hsg toán 9.
+) Yêu cầu:
Thứ nhất: Các bạn trả lời phải ghi rõ bài của mình làm là bài mấy ý mấy?
Ví dụ: Bài 1: Giải:....
Thứ hai: Bài được chọn là bài làm đúng nhất và nhanh nhất. Nếu cách khác chậm hơn vẫn được chọn.
+) Giải thưởng: Quản lí cam kết tài trợ GP: Số lượng mỗi ý đúng là 1 GP . Tổng số GP tài trợ là > 12
Đề bài:
Câu 1:
a) Cho \(x=1+\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{4}\). Tính giá trị của biểu thức: \(A=x^5-4x^4+x^3-x^2-2x+2019\)
b) Cho \(x=\sqrt[3]{2+2\sqrt{3}}+\sqrt[3]{2-2\sqrt{3}}-1\). Tính giá trị biểu thức \(P=x^3\left(x^2+3x+9\right)^3\)
Câu 2:
a) Giải phương trình \(\frac{\left(x-4\right)\sqrt{x-2}-1}{\sqrt{4-x}+x-5}=\frac{2+\left(2x-4\right)\sqrt{x-2}}{x-1}\)
b) Giải hệ phương trình \(\hept{\begin{cases}\sqrt{x+1}+\sqrt{x+2}+\sqrt{x+3}=\sqrt{y-1}+\sqrt{y-2}+\sqrt{y-3}\\x^2+y^2=10\end{cases}}\)
Câu 3:
a) Cho hai đa thức \(f\left(x\right)=\frac{1}{x}+\frac{1}{x-2}+\frac{1}{x-4}+...+\frac{1}{x-2018}\)và \(g\left(x\right)=\frac{1}{x-1}+\frac{1}{x-3}+\frac{1}{x-5}+...+\frac{1}{x-2017}\)
Chứng minh rằng :\(\left|f\left(x\right)-g\left(x\right)\right|>2\)với x là các số nguyên thỏa mãn 0 < x < 2018
b) Cho m, n là hai số nguyên dương lẻ sao cho \(n^2-1\)chia hết cho \(\left|m^2-n^2+1\right|\). Chứng minh rằng \(\left|m^2-n^2+1\right|\)là số chính phương
c) Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình \(x\left(x+3\right)+y\left(y+3\right)=z\left(z+3\right)\)với điều kiện x, y là các số nguyên tố
d) Chứng minh rằng phương trình \(x^{15}+y^{15}+z^{15}=19^{2003}+7^{2003}+9^{2003}\)không có nghiệm nguyên
Câu 4:
a) Cho điểm A cố định thuộc trên đường tròn (O; R). BC là dây cung của đường tròn (O; R), BC di động và tam giác ABC nhọn. Các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. Tiếp tuyến tại B, C của đường tròn (O) cắt nhau ở G. Gọi S là giao điểm của GD và EF. Chứng minh rằng đường thẳng SH luôn đi qua một điểm cố định.
b) Cho tam giác ABC vuông tại C, D là chân đường cao vẽ từ C. Cho X là điểm bất kì thuộc đoạn thẳng CD (X khác C và D). Cho K là điểm trên đoạn thẳng AX sao cho BK = BC. Tương tự L là điểm trên đoạn thẳng BX sao cho AL = AC. Cho M là giao điểm của AL và BK. Chứng minh rằng MK = ML
Câu 5:
a) Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện a + b + c = 3. Chứng minh rằng:\(8\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)+9\ge10\left(a^2+b^2+c^2\right)\)
b) Cho tập hợp X = {0;1;2;...;14}. Gọi A là một tập hợp gồm 6 phần tử được lấy ra từ X. Chứng minh rằng trong các tập hợp con thực sự của A luôn tìm được hai tập có tổng các phần tử bằng nhau . (Tập hợp con thực sự của tập Y là tập con của Y khác tập rỗng và khác Y)
P/s: Đề bài tổng hợp có gì sai sót mong các bạn góp ý và bổ sung không cãi nhau; spam gây mất trật tự.
Góp ý của anh là câu hình em chọn những câu mà có các ý nhỏ hơn để gợi ý cho các ý khác em nha =))
sol nhẹ vài bài
\(x\left(x+3\right)+y\left(y+3\right)=z\left(z+3\right)\)
\(\Leftrightarrow x\left(x+3\right)=\left(z-y\right)\left(z+y+3\right)\)
Khi đó \(z-y⋮x;z+y+3⋮x\)
Nếu \(z-y⋮x\Rightarrow z-y\ge x\Rightarrow z+y+3\ge x+2y+3>x+3\)
Trường hợp này loại
Khi đó \(z+y+3⋮x\) Đặt \(z+y+3=kx\Rightarrow x\left(x+3\right)=\left(z-y\right)kx\Rightarrow x+3=k\left(z-y\right)\)
Mặt khác \(\left(x+y\right)\left(x+y+3\right)=x\left(x+3\right)+y\left(y+3\right)+2xy>z\left(z+3\right)\)
\(\Rightarrow z< x+y\)
Giả sử rằng \(x\ge y\) Mà \(z\left(z+3\right)>x\left(x+3\right)\Rightarrow z>x>y\) mặt khác \(kx>z>x\Rightarrow k>1\)
Ta có:\(kx< \left(x+y\right)+y+3=x+2y+3\le3x+3< 4x\Rightarrow k< 4\Rightarrow k\in\left\{2;3\right\}\)
Xét \(k=2\Rightarrow z+y+3=2x\Rightarrow z=2x-y-3\) và \(x\left(x+3\right)=\left(z-y\right)2x\Leftrightarrow x+3=2z-2y\)
\(\Leftrightarrow x+3=4x-2y-6-2y\Leftrightarrow4y=3x-3\Rightarrow y⋮3\Rightarrow y=3\) tự tìm x;z
\(k=3\Rightarrow z+y+3=3x\Rightarrow z=3x-y-3\) và \(x\left(x+3\right)=\left(z-y\right)3x\Leftrightarrow x+3=3z-3y\Leftrightarrow x+3=3\left(3x-y-3\right)-3y\)
\(\Leftrightarrow x+3=9x-3y-9-3y\Leftrightarrow8x-12=6y\Leftrightarrow4x-4=3y\Rightarrow y=2\Rightarrow x=\frac{5}{2}\left(loai\right)\)
Vậy.............
Bài 1 : Giải :
a) Ta có : \(x=1+\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{4}\)
\(\Rightarrow x.\left(1-\sqrt[3]{2}\right)=\left(1-\sqrt[3]{2}\right)\left(1+\sqrt[3]{2}.1+\sqrt[3]{2^2}\right)\)
\(\Rightarrow x-x\sqrt[3]{2}=1^3-\left(\sqrt[3]{2}\right)^3=-1\)
\(\Rightarrow x+1=x\sqrt[3]{2}\)
\(\Rightarrow\left(x+1\right)^3=2x^3\)
\(\Rightarrow x^3-3x^2-3x-1=0\)
Khi đó ta có : \(A=x^5-4x^4+x^3-x^2-2x+2019\)
\(=x^5-3x^4-3x^3-x^2-x^4+3x^3+3x^2+x+x^3-3x^2-3x-1+2020\)
\(=x^2.\left(x^3-3x^2-3x-1\right)-x.\left(x^3-3x^2-3x-1\right)+\left(x^3-3x^2-3x-1\right)+2020\)
\(=2020\)
P/s : Tạm thời xí câu này đã tối về xí tiếp nha :))
Bài 3
d, Giả sử tồn tại thỏa mãn
\(x^{15}+y^{15}+z^{15}=19^{2003}+7^{2003}+9^{2003}\)
Ta có
\(+)19\equiv1\left(mod9\right)\)\(\Rightarrow19^{2003}\equiv1\left(mod9\right)\left(1\right)\)
\(+)7\equiv7\left(mod9\right)\)\(\Rightarrow7^3\equiv1\left(mod9\right)\)\(\Rightarrow7^{3.667}.7^2\equiv1.7^2\left(mod9\right)\)\(\Rightarrow7^{2003}\equiv4\left(mod9\right)\left(2\right)\)
\(+)9\equiv0\left(mod9\right)\)\(\Rightarrow9^{2003}\equiv0\left(mod9\right)\left(3\right)\)
Từ \(\left(1\right);\left(2\right);\left(3\right)\Rightarrow19^{2003}+7^{2003}+9^{2003}\equiv5\left(mod9\right)\)
\(\Rightarrow19^{2003}+7^{2003}+9^{2003}\div9dư5\left(4\right)\)
Lại có: \(x^{15}+y^{15}+z^{15}=\left(x^5\right)^3+\left(y^5\right)^3+\left(z^5\right)^3\)
Mà lập phương của 1 số khi chia cho 9 thì chỉ dư 0,1,8
\(\Rightarrow\left(x^5\right)^3+\left(y^5\right)^3+\left(z^5\right)^3\div9\)dư 0:1;2;3;6;7;8\(\left(5\right)\)
Từ \(\left(4\right);\left(5\right)\Rightarrow\)phương trình \(x^{15}+y^{15}+z^{15}=19^{2003}+7^{2003}+9^{2003}\)vô nghiệm (đpcm)
Mik mới học lớp 7 nên chỉ làm được bài này thôi ^^
Câu 2:
b, \(\hept{\begin{cases}\sqrt{x+1}+\sqrt{x+2}+\sqrt{x+3}=\sqrt{y-1}+\sqrt{y-2}+\sqrt{y-3}\left(1\right)\\x^2+y^2=10\end{cases}}\)
\(\left(1\right)\Leftrightarrow\sqrt{x+1}-\sqrt{y-3}+\sqrt{x+2}-\sqrt{y-2}+\sqrt{x+3}-\sqrt{y-1}=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y+4\right)\left(\frac{1}{\sqrt{x+1}+\sqrt{y-3}}+\frac{1}{\sqrt{x+2}-\sqrt{y-2}}+\frac{1}{\sqrt{x+3}-\sqrt{y-1}}\right)=0\)
Dễ thấy \(\frac{1}{\sqrt{x+1}+\sqrt{y-3}}+\frac{1}{\sqrt{x+2}-\sqrt{y-2}}+\frac{1}{\sqrt{x+3}-\sqrt{y-1}}>0\)nên \(x-y=-4\)
Hệ trở thành: \(\hept{\begin{cases}x-y=-4\\x^2+y^2=10\end{cases}}\)
Đến đây khá là dễ rồi, giải ra ta được: \(\left(x;y\right)\in\left\{\left(-1;3\right);\right\}\)(Đã loại trường hợp không thỏa mãn)
Các bạn lưu ý đây là bài thi nên các bạn phải trình bày rõ ràng (dù là dễ mới có thể chấm đc nha) , các bạn xem đây là cuộc thi hsg cấp huyện , tỉnh và làm bài thật đúng, trình bày rõ ràng, logic
Số khá dễ nhỉ
\(n^2-1⋮\left|m^2-n^2+1\right|\Rightarrow-\left(m^2-n^2+1\right)+m^2⋮\left|m^2-n^2+1\right|\Rightarrow m^2⋮\left|m^2-n^2+1\right|\)
Đặt \(m^2=k\left(m^2-n^2+1\right)=k\left[\left(m-n\right)\left(m+n\right)+1\right]=k\left[4\cdot\frac{m-n}{2}\cdot\frac{m+n}{2}+1\right]\)
Mặt khác:\(m^2=\left(\frac{m-n}{2}+\frac{m+n}{2}\right)^2\)
Đặt \(x=\frac{m-n}{2};y=\frac{m+n}{2}\Rightarrow m=x+y;n=x-y\Rightarrow x-y>0\Rightarrow x>\left|y\right|\) Khi đó ta có được: \(\left(x+y\right)^2=k\left(4xy+1\right)\Leftrightarrow x^2-2\left(2k-1\right)xy+\left(y^2-k\right)=0\)
Gọi nghiệm thứ 2 của phương trình là x1
Theo Viete ta dễ có: \(x_1+x=2\left(2k-1\right);xx_1=y^2-k\)
TH1: x1 > 0
Ta có:\(y^2-k=xx_1>\left|y\right|^2=y^2\Rightarrow k< 0\Rightarrow x_1+x< 0\) ( Vô lý )
TH2: x1 < 0
Khi đó: \(y^2-k=xx_1< 0\Rightarrow k>y^2>0\Rightarrow4xy+1>0\Rightarrow y>0\)
\(k=x_1^2-2\left(2k-1\right)x_1y+y^2=x_1^2+2\left(2k-1\right)\left|x_1\right|y+y^2>2\left(2k-1\right)\left|x_1\right|y\ge2\left(2k-1\right)>k\)
Điều này vô lý
Khi đó x1=0 như vậy k = y2 => \(m^2-n^2+1=\frac{m^2}{k}=\frac{m^2}{y^2}=\left(\frac{m}{y}\right)^2\) là số chính phương
Làm bài hình đỡ bị đụng....! Hình bạn có thể tự phác hoặc vào thống kê hỏi đáp của mình để xem hình
Bài 4: Giải:
b) 
Vẽ AI _|_ BX tại I, AI cắt CD tại T
\(\Delta\)TAB có TD,BI là 2 đường cao cắt nhau tại X => X là trực tâm tam giác TAB
=> AX _|_TB
Gọi S là giảo của AX và TB
\(\Delta\)ACB vuông tại C, CD là đường cao => AC2=AD.AB
Mà AC=AL (gt) nên AL2=AD.AB
Ta có \(\frac{AD}{AT}=\frac{AI}{AB}\left(=\cos\widehat{BAI}\right)\Rightarrow AD\cdot AB=AL\cdot AT\)
Nên AI.AT=AL2
Ta có \(\Delta AIL~\Delta ALT\left(c.g.c\right)\Rightarrow\widehat{ALT}=\widehat{AIL}=90^o\)
\(\Delta\)TLA vuông tại L có LT là đường cao => TL2=TL.TA
Tương tự có: TK2=TS.TB mà \(\frac{TI}{TB}=\frac{TS}{TA}\left(=\cos\widehat{ATS}\right)\)
=> TB.TS=TI.TA
Do đó TK2=TL2 => TK=TL
\(\Delta KMT=\Delta LMT\)(cạnh huyền-góc vuông) => MK=ML (đpcm)
Bạn withshi làm đúng nhưng sao bạn ý lại làm giống ko sai 1 chữ trong tài liệu mình lấy để ra đề. Trí nhớ siêu phàm. Bạn giỏi vler
Câu 1: b) \(x=\sqrt[3]{2+2\sqrt{3}}+\sqrt[3]{2-2\sqrt{3}}-1\)\(\Leftrightarrow x+1=\sqrt[3]{2+2\sqrt{3}}+\sqrt[3]{2-2\sqrt{3}}\)
\(\Rightarrow\left(x+1\right)^3=4-6\left(x+1\right)\Rightarrow x^3+3x^2+9x=-3\)
\(P=x^3\left(x^2+3x+9\right)^3=\left(x^3+3x^2+9x^2\right)^3=\left(-3\right)^3=-27\)
Câu 2: a) Điều kiện XĐ: \(x\ge2;\sqrt{4-x}+x-5\ne0\)Khi đó, phương trình tương đương
\(\frac{\left(x-2\right)\sqrt{x-2}-2\sqrt{x-2}-1}{\sqrt{4-x}+x-5}=\frac{2[\left(x-2\right)\sqrt{x-2}-1]}{x-1}\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(\sqrt{x-2}+1\right)\left(x-3-\sqrt{x-2}\right)}{\sqrt{4-x}+x-5}=\frac{2\left(\sqrt{x-2}+1\right)\left(x-1-\sqrt{x-2}\right)}{x-1}\)
\(\Leftrightarrow\frac{x-3-\sqrt{x-2}}{\sqrt{4-x}+x-5}=\frac{2\left(x-1-\sqrt{x-2}\right)}{x-1}\)
Bớt 1 ở 2 vế: \(\frac{2-\sqrt{x-2}-\sqrt{4-x}}{\sqrt{4-x}+x-5}=\frac{x-1-2\sqrt{x-2}}{x-1}\)
Để ý vế phải không âm (do \(\frac{\left(\sqrt{x-2}-1\right)^2}{x-1}\ge0)\)
Ta chứng minh vế trái không dương. Thật vậy, theo BĐT Cauchy-Schwa ta có\(\sqrt{x-2}+\sqrt{4-x}\le\sqrt{2\left(x-2+4-x\right)}=2\)
Lại để ý với mọi số thực a, \(a^2-a+1>\left(a-\frac{1}{2}\right)^2\)tức a2 +1>a. Áp dụng kết quả này ta lại có \(\sqrt{4-x}+x=4-x+1+x=5\)nên mẫu số luôn âm
Vậy đẳng thức giữa 2 vế xảy ra khi và chỉ khi \(\hept{\begin{cases}x-2=4-x\\\sqrt{4-x}=1\\\left(\sqrt{x-2}-1\right)^2=0\end{cases}\Rightarrow x=3}\)
Vậy x=3 là nghiệm của phương trình
Một lời giải khác cho câu 4b, vào TKHĐ để xem hình ảnh
Câu 2 :
a) Cách khác ( Hơi trâu bò ) :
\(ĐKXĐ:2\le x\le4\)
Phương trình đã cho tương đương :
\(\frac{\left(4-x\right)\sqrt{x-2}+1}{-\sqrt{4-x}+5-x}=\frac{2+2\left(2x-4\right)\sqrt{x-2}}{x-1}\)
Đặt \(\sqrt{x-2}=a,\sqrt{4-x}=b.\left(a,b\ge0\right)\)
\(\Rightarrow a^2+b^2=2\). Khi đó phương trình trở thành :
\(\frac{b^2a+1}{b^2-b+1}=\frac{2+2a^3}{a^2+1}\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2+1\right)\left(b^2a+1\right)=\left(2+2a^3\right)\left(b^2-b+1\right)\)
\(\Leftrightarrow a^3\left(b^2-2b+1\right)+\left(b-1\right)^2+b^2+a^3-a^2-b^2a=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a^3+1\right)\left(b-1\right)^2+2.\left(a-1\right)^2\left(a+1\right)=0\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a-1=0\\b-1=0\end{cases}\Leftrightarrow}x=3\) ( Thỏa mãn )
Vậy pt có nghiệm duy nhất \(x=3\)
Shi không thấy bạn nào làm câu 5. Xin phép làm...!?
Giải: a) Không mất tính tổng quát giả sử a là số lớn nhất trong 3 số trên. Từ giả thiết a+b+c=3 => 1 =<a<3
BĐT cần chứng minh tương đương với \(8\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)+42\left(a+b+c\right)-117\ge10\left(a^2+b^2+c^2\right)\)
Hay \(\left(-10b^2+42b+\frac{8}{b}-\frac{69}{2}\right)+\left(-10c^2+42c+\frac{8}{c}-\frac{69}{2}\right)\ge10a^2-42a+\frac{8}{a}+48\)
Hay \(\frac{\left(2b-1\right)^2\left(16-5b\right)}{b}+\frac{\left(2c-1\right)^2\left(16-5c\right)}{c}\ge\frac{\left(a-2\right)^2\left(20a-4\right)}{a}\)
Theo BĐT Bunhiacopxki dạng phân thức ta có:
\(\frac{\left(2b-1\right)^2\left(16-5b\right)}{b}+\frac{\left(2c-1\right)^2\left(16-5c\right)}{c}=\frac{\left(2b-1\right)^2}{\frac{b}{16-5b}}+\frac{\left(2c-1\right)^2}{\frac{c}{16-5c}}\)\(\ge\frac{\left(2b+2c-a\right)^2}{\frac{b}{16-5b}+\frac{c}{16-5c}}=\frac{4\left(a-2\right)^2}{\frac{b}{16-5b}+\frac{c}{16-5c}}\)
Ta cần chứng minh \(\frac{4\left(a-2\right)^2}{\frac{b}{16-5b}+\frac{c}{16-5c}}\ge\frac{\left(a-2\right)^2\left(20a-4\right)}{a}\) \(\Leftrightarrow\frac{\left(a-2\right)^2}{\frac{b}{16-5b}+\frac{c}{16-5c}}\ge\frac{\left(a-2\right)^2\left(5a-1\right)}{a}\)
Thật vậy \(a\ge b;a\ge c\)nên ta có \(\frac{b}{16-5b}+\frac{c}{16-5c}\le\frac{b}{16-5a}+\frac{c}{16-5a}\)
Cho nên \(\frac{\left(a-2\right)^2}{\frac{b}{16-5b}+\frac{c}{16-5c}}\ge\frac{\left(a-2\right)^2}{\frac{3-a}{16-5a}}=\frac{\left(a-2\right)^2\left(16-5a\right)}{3-a}\)
Đến đây ta cần chỉ ra \(\frac{\left(a-2\right)^2\left(16-5a\right)}{3-a}\ge\frac{\left(a-2\right)^2\left(5a-1\right)}{a}\)
Đánh gia trên tương đương với \(\left(a-2\right)^2\left(16-5a\right)a\ge\left(3-a\right)\left(a-2\right)^2\left(5a-1\right)\)
Hay \(3\left(a-2\right)^2\ge0\)luôn đúng với mọi a
Dấu "=" xảy ra khi \(a=2;b=c=\frac{1}{2}\)và các hoán vị của chúng
Cre: Quang Bắc
