*Đã hơn 3 ngày mà vẫn chưa có lời giải :(
\(ĐK:x\ne0;y\ne0\)
Với pt(1) : Đặt \(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}=t\Rightarrow t^2=\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2}+2\Rightarrow\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2}=t^2-2\)
Mặt khác : \(\left(\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2}\right)^2=\left(t^2-2\right)^2\Rightarrow\frac{x^4}{y^4}+\frac{y^4}{x^4}+2=t^4-4t^2+4\)
Từ đó \(\frac{x^4}{y^4}+\frac{y^4}{x^4}=t^4-4t^2+2\)
Theo AM_GM có \(\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2}\ge2\Leftrightarrow t^2\ge4\Leftrightarrow|t|\ge2\)
Ta có VT của pt (1) : \(g\left(t\right)=t^4-5t^2+t+4,|t|\ge2\)
Có \(g'\left(t\right)=2t\left(2t^2-5\right)+1\)
Nhận xét :
+ \(t\ge2\Rightarrow2t\left(2t^2-5\right)\ge4\left(8-5\right)>0\Rightarrow g'\left(t\right)>0\)
+ \(t\le-2\Rightarrow2t\le-4;2t^2-5\ge3\Rightarrow-2t\left(2t^2-5\right)\ge12\Rightarrow2t\left(2t^2-5\right)\le-12\Rightarrow g'\left(t\right)< 0\)
Lập BBT có giá trị nhỏ nhất của g(t)= -2 đạt được tại t= -2
Vậy từ pt(1) có \(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}=-2\left(.\right)\)
Đặt \(a=\frac{x}{y}\Rightarrow\frac{y}{x}=\frac{1}{a},a\ne0\)
Lúc đó pt (.) \(\Leftrightarrow a+\frac{1}{a}=-2\Leftrightarrow\left(a+1\right)^2=0\Leftrightarrow a=-1\Leftrightarrow x=-y\)
Thay \(x=-y\)vào pt(2) có :
\(x^6+x^2-8x+6=0\Leftrightarrow\left(x-1\right)^2\left(x^4+2x^3+3x^2+4x+6\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)^2\left[x^2\left(x+1\right)^2+2\left(x+1\right)^2+4\right]=0\)
\(\Leftrightarrow x-1=0\Rightarrow\orbr{\begin{cases}x=1\\y=-1\end{cases}}\)
Vậy HPT có duy nhất 1 nghiệm \(\left(x;y\right)=\left(1;-1\right)\)
Em lớp 7 anh(chị) ạ
@Phạm Trung Đức: Trả lời được thì trả lời, viết trả lời như thế để làm gì :D?
@Mạnh: Dạ là mình đăng lên vì thấy bài này hay, xem bạn nào trả lời được không. Mình cũng không định viết dòng dưới đó đâu, tính ba ngày sau trả lời mà không có dòng đó, nhưng trả lời xong lại mang tiếng tự đăng tự trả lời kiếm điểm hỏi đáp thì hài. Nên mình làm như vậy. Bạn trả lời như vậy thì mình không biết bạn có cách làm chưa nhỉ >.6 Nếu có rồi thì làm đi mình xem đúng không, vì bài này nó khá khó, có thể là một câu hỏi chặn điểm. Nhiều người lên google tìm câu hỏi như này đi lại không có đáp án thì chẳng phải không có lợi gì cho họ không? Mình làm vậy một phần muốn xem trình độ của các bạn có làm được một bài "khá khó" này không, phần nữa là muốn giúp mấy bạn cần đáp án câu hỏi như này hoặc tương tự. Chỉ vậy thôi.
@Đức : Không trả lời được thì thôi chứ còn dèm pha vào làm gì=))??
@Mạnh : Vâng bạn ấy thích thế đấy rồi sao:))
Cũng đã 10 ngày :(
