Question

Đề bài: Cho A = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + … + n.(n + 1).(n + 2). Chứng minh rằng: 4A + 1 là một số chính phương.

Answer 1

 Ta có: n(n + 1)(n + 2) =
n (n + 1)(n + 2). 4=
n(n + 1)(n + 2).

=
n(n + 1)(n + 2)(n + 3) -
n(n + 1)(n + 2)(n - 1)
=> 4S =1.2.3.4 - 0.1.2.3 + 2.3.4.5 - 1.2.3.4 + . . . + n( + 1)(n + 2)(n + 3) 
- n(n + 1)(n + 2)(n - 1) = n(n + 1)(n + 2)(n + 3) 
=> 4S + 1 = n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + 1

n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + 1 = n . ( n + 3)(n + 1)(n + 2) + 1
= (
n^2+3n) (n^2+3n+2) (*)
Đặt n^2 +3n=t
thì (*) = t(t + 2) + 1 = t^2 + 2t + 1 = (t + 1)^2
= (n2 + 3n + 1)^2
Vì n
N nên n^2 + 3n + 1
N. Vậy n(n + 1)(n + 2)(+ 3) + 1 là số chính phương hau 4S +1 là scp

Answer 2

A=1.2.3+2.3.4+3.4.5+...+n(n+1)(n+2)

suy ra 4A=1.2.3(4-0)+2.3.4(5-1)+...+n(n+1)(n+2)((n+3)-(n-1))

=1.2.3.4-0.1.2.3+2.3.4.5-1.2.3.4+...+n(n+1)(n+2)(n+3)-(n-1).n(n+1)(n+2)

=n(n+1)(n+2)(n+3)

4A+1=n(n+1)(n+2)(n+3)+1=n^4+6.n^3+11.n^2+6n+1=(n2+3n+1)^2

Vậy Chứng minh rằng: 4A + 1 là một số chính phương.

 

Answer 3

Ta có: k(k + 1)(k + 2) =
k (k + 1)(k + 2). 4=
k(k + 1)(k + 2).

=
k(k + 1)(k + 2)(k + 3) -
k(k + 1)(k + 2)(k - 1)
=> 4S =1.2.3.4 - 0.1.2.3 + 2.3.4.5 - 1.2.3.4 + . . . + k(k + 1)(k + 2)(k + 3) 
- k(k + 1)(k + 2)(k - 1) = k(k + 1)(k + 2)(k + 3) 
=> 4S + 1 = k(k + 1)(k + 2)(k + 3) + 1

4S+1=k(k + 1)(k + 2)(k + 3) + 1 = k . ( k + 3)(k + 1)(k + 2) + 1
= (
k²+3k)(k²+3n+2)+1 (*)
Đặt
k²+3k=t  thì (*) = t(t + 2) + 1 = t² + 2t + 1 = (t + 1)²
= (k² + 3k + 1)²
 Vậy 4A+1 là số chính phương.

Answer 4

Câu này giải ra bằng4S+1=(n^2+3n+1)^2

=>4S+1 là scp