Đặt \(a=\sqrt[3]{9+4\sqrt{5}};b=\sqrt[3]{9-4\sqrt{5}}\Rightarrow A=a+b\)
Ta có : \(A^3=\left(a+b\right)^3=a^3+b^3+3ab\left(a+b\right)=a^3+b^3+3ab.A\)
\(=\left(9+4\sqrt{5}\right)+\left(9-4\sqrt{5}\right)+3\sqrt{\left(9-4\sqrt{5}\right)\left(9+4\sqrt{5}\right)}\)
\(\Rightarrow A=18+3A\Leftrightarrow A^3-3A-18\Leftrightarrow\left(A-3\right)\left(A^2+3A+6\right)\Rightarrow A=3\)
\(\hept{\begin{cases}9+4\sqrt{5}=\left(\frac{3}{2}+\frac{\sqrt{5}}{2}\right)^3\\9-4\sqrt{5}=\left(\frac{3}{2}-\frac{\sqrt{5}}{2}\right)^3\end{cases}}\)
\(A=\frac{3}{2}+\frac{\sqrt{5}}{2}+\frac{3}{2}-\frac{\sqrt{5}}{2}=3\)
ghi sai đề kìa bạn =))
vài này cứ lập lên có liên hợp r giải pt bậc 3 bình thường
Mình có 1 cách giải hơi khác 1 tí nha!
\(A=\sqrt[3]{9+4\sqrt{5}}+\sqrt[3]{9-4\sqrt{5}}\)
\(A^3=9+4\sqrt{5}+9-4\sqrt{5}+3\sqrt[3]{\left(9-4\sqrt{5}\right)\left(9-4\sqrt{5}\right)}.A\)
\(A^3=18+3\sqrt[3]{9^2-\left(4\sqrt{5}\right)^2}.A\)
\(A^3=18+3\sqrt[3]{81-80}.A\)
\(A^3=18+3A\)
\(A^3-3A-18=0\)
\(A^3-9A+6A-18=0\)
\(A.\left(A^2-9\right)+6.\left(A-3\right)=0\)
\(A.\left(A-3\right)\left(A+3\right)+6\left(A-3\right)=0\)
\(\left(A-3\right)\left[A.\left(A+3\right)+6\right]=0\)
\(\left(A-3\right)\left(A^2+3A+6\right)=0\)
\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}A-3=0\\A^2+3A+6=0\end{cases}}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}A=3\\\left(A+\frac{3}{2}\right)^2+\frac{15}{4}>0\Rightarrow PTVN\end{cases}}\)
Vậy: \(S=\left\{3\right\}\)
(Chúc bạn học tốt và k cho mình với nhé!)
