Theo nguyện vọng đặt ẩn phụ :
Đặt b+c-a=x ; c+a-b=y ; a+b-c=z
\(\Rightarrow a=\frac{y+z}{2};b=\frac{x+z}{2};c=\frac{x+y}{2}\)
\(\Rightarrow\frac{a^2}{b+c-a}+\frac{b^2}{c+a-b}+\frac{c^2}{a+b-c}=\frac{\left(y+z\right)^2}{4x}+\frac{\left(x+z\right)^2}{4y}+\frac{\left(x+y\right)^2}{4z}\)
Áp dụng BĐT Schwarz:
\(\frac{\left(y+z\right)^2}{4x}+\frac{\left(x+z\right)^2}{4y}+\frac{\left(x+y\right)^2}{4z}\ge\frac{\left(2\left(x+y+z\right)\right)^2}{4\left(x+y+z\right)}=x+y+z=a+b+c\)
Dấu''='' tự giải ra nhá.
P/s Bài này đặt ẩn phụ rất dài dòng, bn chỉ cần Schwarz thẳng là ra luôn
Không cần đặt ẩn phụ, ta có thể làm cách sau:
Xét \(\frac{a^2}{b+c-a}+\left(b+c-a\right)\ge2\sqrt{\frac{a^2}{b+c-a}.\left(b+c-a\right)}=2a\)
Tương tự ta chứng minh được: \(\frac{b^2}{c+a-b}+\left(c+a-b\right)\ge2b\)và \(\frac{c^2}{a+b-c}+\left(a+b-c\right)\ge2c\)
\(\Rightarrow VT+2\left(a+b+c\right)-\left(a+b+c\right)\ge2\left(a+b+c\right)\)
\(\Leftrightarrow VT\ge a+b+c\)
Dấu "=" xảy ra khi: \(a=b=c\)
