Question

Cùng thỏa luận nhé!

Cho \(x,y\)  là hai số thực thỏa mãn  \(\sqrt{x+1}+\sqrt{y+1}=\sqrt{2}\left(x+y\right).\)

Tìm GTLN và GTNN của  \(S=x+y\)

                                     (trích "Đề thi học kì 1 lớp 9 môn Toán - trường Chuyên Amsterdam- Hà Nội 2016 - 2017")

 

Answer 1

Cũng không khó lắm.

Lưu ý \(S\ge0\)

Để tìm max\(S\): Ta có \(\sqrt{2}S=\sqrt{x+1}+\sqrt{y+1}\le\sqrt{2\left(x+1+y+1\right)}=\sqrt{2\left(S+2\right)}\).

Suy ra \(S\le\sqrt{S+2}\Leftrightarrow S^2\le S+2\Leftrightarrow S\le2\) (đẳng thức xảy ra khi \(x=y=1\)).

Để tìm min\(S\): Ta có \(\sqrt{2}S=\sqrt{x+1}+\sqrt{y+1}\ge\sqrt{x+y+2}=\sqrt{S+2}\).

Suy ra \(2S^2\ge S+2\Leftrightarrow S\ge\frac{1+\sqrt{17}}{4}\) (đẳng thức xảy ra khi \(x=-1,y=\frac{5+\sqrt{17}}{4}\))

Answer 2

Bài bạn làm chưa đẹp. Hãy thử lại.