Bài 3 , câu 2 .
Chuyển vế phải qua vế trái , đổi dấu , chứng minh hằng đẳng thức mở rộng :
(x3 + y3 + z3 - 3xyz = (x + y + z)(x2 + y2 + z2 - xy - yz - zx)
Xong chỉ cần ghép vào bài , ta sẽ có điều chứng minh .
Giải :
x3 + y3 + z3 \(\ge\) 3xyz
x3 + y3 + z3 - 3xyz \(\ge\)0
Ta sẽ chứng minh hằng đẳng thức này đúng : x3 + y3 + z3 - 3xyz = (x + y + z)(x2 + y2 + z2 - xy - yz - zx)
Cái này cậu tự chứng minh được :)
Có : (x + y + z)(x2 + y2 + z2 - xy - yz - zx) \(\ge\) 0
Giả sử bất đẳng thức trên đúng , thì ta xét được 2 trường hợp ở 2 thừa số
1. Cùng âm
2. Cùng dương
Có : x,y,z không âm
=> x + y + z không âm (1)
Vậy trường hợp 1 không thể xảy ra
+ Bây giờ cần chứng minh thừa số 2 không âm
Có : x2 + y2 + z2 - xy - yz - zx \(\ge\)0
2x2 + 2y2 + 2z2 - 2xy - 2yz - 2zx \(\ge\)0
(x - y)2 + (y - z)2 + (z - x)2 \(\ge\)0 (đúng) (2)
Từ (1) và (2) ta có điều cần chứng minh
2.1
\(-x^4+3x^3-5x^2+5x-2=0\)
\(\Leftrightarrow\left(-x^4+x^3\right)+\left(2x^3-2x^2\right)-\left(3x^2-3x\right)+\left(2x-2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow-x^3\left(x-1\right)+2x^2\left(x-1\right)-3x\left(x-1\right)+2\left(x-1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(-x^3+2x^2-3x+2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left[\left(-x^3+x^2\right)+\left(x^2-x\right)-\left(2x-2\right)\right]=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left[-x^2\left(x-1\right)+x\left(x-1\right)-2\left(x-1\right)\right]=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)^2\left(-x^2+x-2\right)=0\)
Ta có \(-x^2+x-2=-\left(x^2-x+\frac{1}{4}+\frac{7}{4}\right)=-\left(x-\frac{1}{2}\right)^2-\frac{7}{4}< 0\)
Vậy x = 1
5. Vì x, y dương ta có \(x^2+y^2\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{2}=\frac{16^2}{2}=128\)
Áp dụng BĐT Bunhiakovsky dạng phân thức \(\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{x+y}\)
\(M=\frac{18}{2xy}+\frac{18}{x^2+y^2}-\frac{1}{x^2+y^2}=18\left(\frac{1}{2xy}+\frac{1}{x^2+y^2}\right)-\frac{1}{x^2+y^2}\)
\(\ge18.\frac{\left(1+1\right)^2}{2xy+x^2+y^2}-\frac{1}{128}=\frac{18.4}{\left(x+y\right)^2}-\frac{1}{128}=\frac{72}{16^2}-\frac{1}{128}=\frac{35}{128}\)
Vậy \(M\ge\frac{35}{128}\)
Đẳng thức xảy ra \(\Leftrightarrow...\Leftrightarrow x=y=8\)
3.1
Ta có \(A=x^5-x=x\left(x^4-1\right)=x\left(x^2-1\right)\left(x^2+1\right)=x\left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(x^2+1\right)\)
Dễ thấy A chia hết cho 3 vì x, x-1, x+1 là 3 số nguyên liên tiếp
Do đó \(x^5-x+2\) chia 3 dư 2 nên ko thể là 1 số chính phương
Còn 1 bài số nữa thôi cj giải luôn :)
2.2: ĐK: \(x\ne-\frac{1}{2}\)
\(2x+\frac{49}{2x+1}-13\le0\)
\(\Leftrightarrow\frac{2x\left(2x+1\right)+49-13\left(2x+1\right)}{2x+1}\le0\)
\(\Leftrightarrow\frac{4x^2-24x+36}{2x+1}\le0\)
\(\Leftrightarrow\frac{4\left(x-3\right)^2}{2x+1}\le0\) (*)
\(\forall x\ne-\frac{1}{2}\) ta luôn có \(4\left(x-3\right)^2\ge0\) nên (*) xảy ra
\(\Leftrightarrow2x+1< 0\)
\(\Leftrightarrow x< \frac{-1}{2}\)
