Question

CMR:với mọi m,n Tự nhiên thì :x^3m+1+x³ⁿ⁺²+1 chia hết cho x²+x+1

 

Giúp tui đi mà Đừng vô tâm vậy chứ

 

Answer 1

1./ Khẳng định 1: Với mọi p tự nhiên > 0, ta đều có: y^p - 1 = (y - 1)*(y^p-1 + y^p-2 + y^p-3 +... + y + 1)

Hay y^p - 1 chia hết cho y - 1 với mọi y nguyên > 1.

2./ Nếu m = n = 0 thì hiển nhiên x^3*0+1 + x^3*0+2 + 1 = x² + x + 1 chia hết cho:  x² + x + 1

3./ Nếu m; n không đồng thời bằng 0 thì:

Viết \(A=x^{3m+1}+x^{3n+2}+1=x\cdot x^{3m}-x+x^2\cdot x^{3n}-x^2+x^2+x+1.\)

\(A=x\left(x^{3m}-1\right)+x^2\left(x^{3n}-1\right)+x^2+x+1\)

\(A=x\left(\left(x^3\right)^m-1\right)+x^2\left(\left(x^3\right)^n-1\right)+x^2+x+1\)

Áp dụng khẳng định 1 cho m, n tự nhiên > 0 ta có:

\(\left(x^3\right)^m-1\)và \(\left(x^3\right)^m-1\)chia hết cho x³ - 1. Mà x³ - 1 = (x - 1)(x² + x + 1)

=> \(\left(x^3\right)^m-1\)và \(\left(x^3\right)^m-1\)chia hết cho x² + x + 1

=> A chia hết cho x² + x + 1 với mọi m,n là số tự nhiên. đpcm

Answer 2

Với m,n là các số tự nhiên ta có \(x^{3m+1}+x^{3n+1}+1=\left(x^{3m+1}-x\right)+\left(x^{3n+2}-x\right)+x^2+x+1\)
Ta thấy:

\(x^{3m+1}-x=x\left(\left(x^3\right)^m-1\right)\) chia hết cho \(x^3-1\)và vì \(x^3-1\) chia hết cho x^2 + x + 1 nên x^(3m + 1) - x chia hết cho x^2 + x + 1. 

ii/ x^(3n + 2) - x^2 = x^2[(x^3)^n - 1] chia hết cho x^3 - 1, và vì x^3 - 1 chia hết cho x^2 + x + 1 nên x^(3n + 2) - x^2 chia hết cho x^2 + x + 1. 
Từ đó suy ra [x^(3m + 1) - x] + [x^(3n + 2) - x^2] + (x^2 + x + 1) chia hết cho x^2 + x + 1, hay x^(3m + 1) + x^(3n + 2) + 1 chia hết cho x^2 + x + 1. Đây là điều phải chứng minh.