gọi \(\text{Ư}CLN_{\left(5n+3;3n+2\right)}=d\left(d\inℕ^∗\right)\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}5n+3⋮d\\3n+2⋮d\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}3\left(5n+3\right)⋮d\\5\left(3n+2\right)⋮d\end{cases}\Rightarrow}\hept{\begin{cases}15n+9⋮d\\15n+10⋮d\end{cases}}}\)
\(\Rightarrow15n+10-\left(15n+9\right)⋮d\)
\(\Rightarrow15n+10-15n-9⋮d\)
\(\Rightarrow1⋮d\)
\(\Rightarrow d=1\)
vậy phân số \(\frac{5n+3}{3n+2}\) là phân số tối giản với mọi \(n\inℕ\)
gọi d là ƯC(5n+3; 3n+2)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}5n+3⋮d\\3n+2⋮d\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}3\left(5n+3\right)⋮d\\5\left(3n+2\right)⋮d\end{cases}}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}15n+9⋮d\\15n+10⋮d\end{cases}}\)
=> (15n + 10) - (15n + 9) \(⋮\) d
=> 15n + 10 - 15n - 9 \(⋮\) d
=> (15n - 15n) + (10 - 9) \(⋮\) d
=> 1 \(⋮\) d
=> d = 1
=> \(A\) là phân số tối giản với mọi n thuộc N
\(\frac{5n+3}{3n+2}\)là phân số tối giản => UCLN(5n+3;3n+2)=1
Gọi d là UCLN(5n+3;3n+2)
\(\Rightarrow5n+3⋮d\Rightarrow3\left(5n+3\right)⋮d\Rightarrow15n+9⋮d\)
\(\Rightarrow3n+2⋮d\Rightarrow5\left(3n+2\right)⋮d\Rightarrow15+10⋮d\)
\(\Rightarrow15n+10-15n+9⋮d\Rightarrow1⋮d\Rightarrow d=1\)
Suy ra A là phân số tối giản.
Gọi d là ước chung của 5n+3 và 3n+2
<=> 5n+3 chia hết cho d và 3n+2 chia hết cho d
<=> (3n+2)- (5n+3) chia hết cho d
<=> 5(3n+2)- 3(5n+3) = 1 <=> 1 chia hết cho d => d = 1
=> Ước chung của 5n+3 và 3n+2 = 1
=>\(\frac{5n+3}{3n+2}\) là phân số tối giản với mọi n
