Câu hỏi của Lương Hải Bắc

Question

CMR với n thuộc N có 3.(7^2n+1)+6.(2^2n+2) chia hết cho 45

Lê Song Phương · Accepted Answer

Đặt $P\left(n\right)=3.7^{2n+1}+6.2^{2n+2}$

Ta thấy $P\left(0\right)=45⋮45$, luôn đúng.

Giả sử khẳng định đúng đến $n=k$, khi đó $P\left(k\right)=3.7^{2k+1}+6.2^{2n+2}⋮45$. Ta cần chứng minh khẳng định đúng với $n=k+1$. Thật vậy:

$P\left(k+1\right)=3.7^{2\left(k+1\right)+1}+6.2^{2\left(k+1\right)+2}$

$=3.7^{2k+3}+6.2^{2k+4}$

$=49.3.7^{2k+1}+4.6.2^{2k+2}$

$=4\left(3.7^{2k+1}+6.2^{2k+2}\right)+45.3.7^{2k+1}$

Hiển nhiên $45.3.7^{2k+1}⋮45$. Lại có $4\left(3.7^{2k+1}+6.2^{2k+2}\right)$ theo giả thiết quy nạp nên suy ra $P\left(k+1\right)⋮45$, suy ra khẳng định đúng với mọi $n\inℕ$. Ta có đpcmCâu trả lời: Đặt $P\left(n\right)=3.7^{2n+1}+6.2^{2n+2}$