Ta có: 91 = 7.13 mà ƯCLN(7 ; 13) = 1 nên ta cần chứng minh A chia hết cho 7 và chia hết cho 13.
Đặt A = (25n – 18n) – (12n – 5n)
Vì (25n – 18n)(25 – 18)= 7 ; (12n – 5n) (12 – 5) = 7 nên A chia hết cho 7
A = (25n – 12n) – (18n – 5n)
Vì (25n – 12n)(25 – 12)= 13 ; (18n – 5n) (18 – 5) = 13 nên A chia hết cho 13
A vừa chia hết cho 7, vừa chia hết cho 13, mà (7 ; 13) = 1
Nên A chia hết cho BCNN(7 ; 13) hay A chia hết cho 91
CMR với mọi số nguyên dương n đều có
5^n(5^n+1)-6^n(3^n+2^n) chia hết cho 91
chứng minh rằng với mọi số n nguyên dương đều có A=5^n(5^n+10-6^n(3^n+2^n) chia hết cho 91
gt= 25^n + 5^n - 18^n - 12^n
Mình ký hiệu đồng dư là dd nha.
+ Chứng minh gt chia hết cho 7:
25 dd 4 (mod 7) => 25^n dd 4^n (mod 7)
18 dd 4 (mod 7) => 18^n dd 4^n (mod 7)
\(\Rightarrow\) 25^n - 18^n chia hết cho 7.
chứng minh tt 5^n - 12^n chia hết cho 7
\(\Rightarrow\) gt chia hết cho 7
* Chứng minh gt chia hết cho 13
25 dd -1 (mod 13) => 25^n dd (-1)^n (mod 13)
12 dd -1 (mod 13) => 12^n dd (-1)^n (mod 13)
\(\Rightarrow\) 25^n - 12^n chia hết cho 13
chứng minh tt 5^n - 18^n chia hết cho 13
Vậy bài toán \(ĐPCM\)
