Các câu hỏi tương tự
chứng minh với mọi số thực t\(\ne0\)
ta luôn có bất đẳng thức sau:
\(t^2+\frac{1}{t^2}+3\ge\frac{5}{2}\left(t+\frac{1}{t}\right)\)
dấu đẳng thức xảy ra khi nào
CMR với mọi số thực dương a, b, c bất đẳng thức sau luôn đúng:
\(\frac{\left(b+c-a\right)^2}{\left(b+c\right)^2+a^2}+\frac{\left(c+a-b\right)^2}{\left(c+a\right)^2+b^2}+\frac{\left(a+b-c\right)^2}{\left(a+b\right)^2+c^2}\ge\frac{3}{5}\)
Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn abc =1 . Chứng minh rằng \(\frac{a}{\left(ab+a+1\right)^2}+\frac{b}{\left(bc+b+1\right)^2}+\frac{c}{\left(ca+c+1\right)^2}\ge\frac{1}{a+b+c}\)
Đẳng thức xảy ra khi nào ?
CMR với bất kì các số thực dương a,b,c sao cho a+b+c=ab+bc+ac , bất đẳng thức sau đây xảy ra :
\(3+\sqrt[3]{\dfrac{a^3+1}{2}}+\sqrt[3]{\dfrac{b^3+1}{2}}+\sqrt[3]{\dfrac{c^3+1}{2}}\le2\left(a+b+c\right)\)
Cho 2 số a,b không âm . Chứng minh:
\(\frac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}\) ( Bất đẳng thức Cô-si cho hai số không âm)
Dấu đẳng thức xảy ra khi nào?
Áp dụng bất đẳng thức bunhiacopxki ta có left(a+b+cright)^2geleft(1+1+1right)left(a^2+b^2+c^2right)ge9Rightarrow a+b+cge3Áp dụng bất đẳng thức cauchy-schwarz ta có: frac{1}{a}+frac{1}{b}+frac{1}{c}gefrac{9}{a+b+c}Rightarrow Pge2left(a+b+cright)+frac{9}{a+b+c}a+b+c+frac{9}{a+b+c}+a+b+cÁp dụng bất đẳng thức cosi ta có a+b+c+frac{9}{a+b+c}ge2sqrt{frac{left(a+b+cright).9}{a+b+c}}2sqrt{9}6Lại có a+b+cge3 (chứng minh trên)Rightarrow Pge6+39Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 9. Dấu bằng xảy ra khi abc1
Đọc tiếp
Áp dụng bất đẳng thức bunhiacopxki ta có
\(\left(a+b+c\right)^2\ge\left(1+1+1\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge9\Rightarrow a+b+c\ge3\)
Áp dụng bất đẳng thức cauchy-schwarz ta có: \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{9}{a+b+c}\)
\(\Rightarrow P\ge2\left(a+b+c\right)+\frac{9}{a+b+c}=a+b+c+\frac{9}{a+b+c}+a+b+c\)
Áp dụng bất đẳng thức cosi ta có \(a+b+c+\frac{9}{a+b+c}\ge2\sqrt{\frac{\left(a+b+c\right).9}{a+b+c}}=2\sqrt{9}=6\)
Lại có \(a+b+c\ge3\) (chứng minh trên)
\(\Rightarrow P\ge6+3=9\)
Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 9. Dấu bằng xảy ra khi a=b=c=1
Cho a,b,c,d là các số thực.Chứng minh rằng \(a ^2+b^2+c^2+d^2\ge a\left(b+c+d\right).\)Dấu đẳng thức xảy ra khi nào?
Cho a,b>0 thỏa mãn a+b=1.CMR:B=\(a^3+b^3+8\left(a^4+b^4\right)+\frac{2}{ab}\)\(\ge\frac{37}{4}\). Đẳng thức xảy ra khi nào?
Chứng minh rằng với mọi số thực không âm \(a,b,c\) thỏa mãn không có hai số nào trong chúng có thể đồng thời bằng \(0\), bất đẳng thức sau luôn được thỏa mãn:
\(\frac{a}{a^2+3bc}+\frac{b}{b^2+3ca}+\frac{c}{c^2+3ab}\le\frac{\left(a+b+c\right)^3}{4\left(ab+bc+ca\right)^2}\)