tích của năm số tự nhiên liên tiếp thì có ít nhất 1 thừa số chia hết cho 2; 1 thừa số chia hết cho 3; 1 thừa số chia hết cho 4 và 1 thừa số chia hết cho 5
mà 2; 3; 4; 5 là 5 số đôi một nguyên tố cùng nhau
nên tích của năm số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 2.3.4.5
hay tích của năm số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 120
Giải
Cách 1:
Ta có tích 5 số tự nhiên liên tiếp bằng: a.(a+1).(a+2).(a+3).(a+4)
Mà a chia cho 5 có 5 trường hợp xảy ra:
a= 5k a= 5k+1 a= 5k+2 a= 5k+3 a= 5k+4
*Nếu a= 5k thì a.(a+1).(a+2).(a+3).(a+4) chia hết cho 5
*Nếu a= 5k+1 thì a+4= 5k+1+4
=5k+5 (hay a+4) chia hết cho 5
=>a.(a+1).(a+2).(a+3).(a+4) chia hết cho 5
*Nếu a= 5k+2 thì a+3= 5k+2+3
=5k+5 (hay a+3) chia hết cho 5
=>a.(a+1).(a+2).(a+3).(a+4) chia hết cho 5
*Nếu a= 5k+3 thì a+2= 5k+3+2
=5k+5 (hay a+2) chia hết cho 5
=>a.(a+1).(a+2).(a+3).(a+4) chia hết cho 5
*Nếu a= 5k+4 thì a+1= 5k+1+4
=5k+5 (hay a+1) chia hết cho 5
=>a.(a+1).(a+2).(a+3).(a+4) chia hết cho 5
Vậy tích 5 số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 5
