Câu hỏi của Trịnh Ngọc Lực

Question

cmr: số có dạng n^6-n^4+2.n^3+2.n^2 (n thuộc N và n>1) không phải là số chính phương

Phước Nguyễn · Accepted Answer

Đặt $P=n^6-n^4+2n^3+2n^2$ thì $n^6-n^4+2n^3+2n^2=n^2\left(n^4-n^2+2n+2\right)=n^2\left[n^2\left(n-1\right)\left(n+1\right)+2\left(n+1\right)\right]$ $=n^2\left(n+1\right)\left(n^3-n^2+2\right)=n^2\left(n+1\right)\left[\left(n^3+1\right)-\left(n^2-1\right)\right]$ $=n^2\left(n+1\right)\left[\left(n+1\right)\left(n^2-n+1\right)-\left(n+1\right)\left(n-1\right)\right]$ $P=n^2\left(n+1\right)^2\left(n^2-2n+2\right)$Với $n\in N;$ $n>1$, ta có: $n^2-2n+2=\left(n-1\right)^2+1>\left(n-1\right)^2$ và $n^2-2n+2=n^2-2\left(n-1\right)\text{<}n^2$ Theo đó, $\left(n-1\right)^2\text{< }n^2-2n+2\text{< }n^2$ Mặt khác, $\left(n-1\right)^2$ và $n^2$ là hai số chính phương liên tiếpDo đó, $n^2-2n+2$ không thể là một số chính phương.Vậy, $P$ không là số chính phương với mọi $n\in N;$ $n>1$.Câu trả lời: Đặt $P=n^6-n^4+2n^3+2n^2$ thì $n^6-n^4+2n^3+2n^2=n^2\left(n^4-n^2+2n+2\right)=n^2\left[n^2\left(n-1\right)\left(n+1\right)+2\left(n+1\right)\right]$ $=n^2\left(n+1\right)\left(n^3-n^2+2\right)=n^2\left(n+1\right)\left[\left(n^3+1\right)-\left(n^2-1\right)\right]$ $=n^2\left(n+1\right)\left[\left(n+1\right)\left(n^2-n+1\right)-\left(n+1\right)\left(n-1\right)\right]$ $P=n^2\left(n+1\right)^2\left(n^2-2n+2\right)$Với $n\in N;$ $n>1$, ta có: $n^2-2n+2=\left(n-1\right)^2+1>\left(n-1\right)^2$ và $n^2-2n+2=n^2-2\left(n-1\right)\text{<}n^2$ Theo đó, $\left(n-1\right)^2\text{< }n^2-2n+2\text{< }n^2$ Mặt khác, $\left(n-1\right)^2$ và $n^2$ là hai số chính phương liên tiếpDo đó, $n^2-2n+2$ không thể là một số chính phương.Vậy, $P$ không là số chính phương với mọi $n\in N;$ $n>1$.

Phước Nguyễn · Answer

Đặt  $P=n^6-n^4+2n^3+2n^2$  thì $n^6-n^4+2n^3+2n^2=n^2\left(n^4-n^2+2n+2\right)=n^2\left[n^2\left(n-1\right)\left(n+1\right)+2\left(n+1\right)\right]$                                             $=n^2\left(n+1\right)\left(n^3-n^2+2\right)=n^2\left(n+1\right)\left[\left(n^3+1\right)-\left(n^2-1\right)\right]$                                             $=n^2\left(n+1\right)\left[\left(n+1\right)\left(n^2-n+1\right)-\left(n+1\right)\left(n-1\right)\right]$                                        $P=n^2\left(n+1\right)^2\left(n^2-2n+2\right)$Với $n\in N;$  $n>1$, ta có:  $n^2-2n+2=\left(n-1\right)^2+1>\left(n-1\right)^2$  và  $n^2>n^2-2\left(n-1\right)=n^2-2n+2$  Theo đó,    $n^2>n^2-2n+2>\left(n-1\right)^2$Mặt khác, $\left(n-1\right)^2$  và  $n^2$  là hai số chính phương liên tiếpDo đó,    $n^2-2n+2$  không thể là một số chính phương.Vậy,  $P$  không là số chính phương với mọi  $n\in N;$  và  $n>1$Câu trả lời: Đặt  $P=n^6-n^4+2n^3+2n^2$  thì $n^6-n^4+2n^3+2n^2=n^2\left(n^4-n^2+2n+2\right)=n^2\left[n^2\left(n-1\right)\left(n+1\right)+2\left(n+1\right)\right]$                                             $=n^2\left(n+1\right)\left(n^3-n^2+2\right)=n^2\left(n+1\right)\left[\left(n^3+1\right)-\left(n^2-1\right)\right]$                                             $=n^2\left(n+1\right)\left[\left(n+1\right)\left(n^2-n+1\right)-\left(n+1\right)\left(n-1\right)\right]$                                        $P=n^2\left(n+1\right)^2\left(n^2-2n+2\right)$Với $n\in N;$  $n>1$, ta có:  $n^2-2n+2=\left(n-1\right)^2+1>\left(n-1\right)^2$  và  $n^2>n^2-2\left(n-1\right)=n^2-2n+2$  Theo đó,    $n^2>n^2-2n+2>\left(n-1\right)^2$Mặt khác, $\left(n-1\right)^2$  và  $n^2$  là hai số chính phương liên tiếpDo đó,    $n^2-2n+2$  không thể là một số chính phương.Vậy,  $P$  không là số chính phương với mọi  $n\in N;$  và  $n>1$

Khoá học trên OLM (olm.vn)

Khoá học trên OLM (olm.vn)