a³ + b³ + c³ = 3abc
<=> a³ + b³ + c³ - 3abc = 0
<=> a³ + b³ + 3a²b + 3ab² - 3a²b - 3ab² + c³ - 3abc = 0
<=> (a+b)³ - 3a²b - 3ab² + c³ - 3abc = 0
<=> [(a+b)³ + c³] – 3ab(a + b + c) = 0
<=> (a+b+c)[(a+b)² - c(a+b) + c²] – 3ab(a+b+c) = 0
<=> (a+b+c)(a² + 2ab + b² - ac – bc + c² - 3ab) = 0
<=> (a+b+c)(a² + b² + c² - bc – ab – ca) = 0
<=>{a + b +c = 0, a;b;c là các số dương => a = b = c
hoặc {a² + b² + c² - bc – ab – ca = 0
<=> 2a² + 2b² + 2c² - 2bc – 2ab – 2ca = 0
<=> (a² - 2ab + b²) + (b² - 2bc + c²) + (c² - 2ac + a²) = 0
<=> (a - b)² + (b - c)² + (c - a)² = 0
mà (a - b)² ≥ 0 với mọi a;b
(b - c)² ≥ 0 với mọi b;c
(c - a)² ≥ 0 với mọi a;c
nên ta có a - b = b - c = c - a
=> a = b =c
Ta có:\(a^3+b^3+c^3=\left(a+b+c\right).\left(a^2+b^2+c^2-a.b-b.c-a.c\right)+3.a.b.c=3.a.b.c\)
\(=\left(a+b+c\right).\left(a^2+b^2+c^2-a.b-b.c-a.c\right)=0\)
Ta thấy a, b, c là số dương nên a + b + c khác 0 suy ra \(\left(a^2+b^2+c^2-a.b-b.c-a.c\right)=0\)nên a = b = c.
Vậy a = b = c
Áp dụng BĐT Cosi cho 3 số không âm ta có:
\(a^3+b^3+c^3\ge3abc\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a^3=b^3=c^3\) nên suy ra a = b = c
Mà \(a^3+b^3+c^3=3abc\)
Nên suy ra đpcm :))))
