Đề sai rồi phải là \(\frac{x+y}{2}\ge\sqrt{xy}\) chứ!
Ta có: \(\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)^2\ge0\forall x;y\)
\(\Leftrightarrow x-2\sqrt{xy}+y\ge0\)
\(\Leftrightarrow x+y\ge2\sqrt{xy}\)
\(\Leftrightarrow\frac{x+y}{2}\ge\sqrt{xy}\)
Dấu "=" xảy ra khi x = y
Vậy .....
Tk nha!
mình chỉnh lại đề: CMR: \(\frac{x+y}{2}\ge\sqrt{xy}\) \(\forall x;y>0\)
Bài làm
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(\frac{x+y}{2}\ge\frac{2\sqrt{xy}}{2}=\sqrt{xy}\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(x=y\)
\(x^2+y^2\ge2xy\)
\(\Rightarrow x^2+y^2+2xy\ge4xy\)
\(\Rightarrow\left(x+y\right)^2\ge4xy\)
\(\Rightarrow x+y\ge\sqrt{4xy}\)
\(\Rightarrow x+y\ge2\sqrt{xy}\)
\(\Rightarrow\frac{x+y}{2}\ge\sqrt{xy}\)
