Question

CMR

\(\frac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}+...+\frac{1}{\sqrt{2013^2-1}+\sqrt{2013^2}}=2012\)

Answer 1

Xét số hạng tổng quát: \(\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}=\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{\left(\sqrt{n+1}+\sqrt{n}\right)\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)}=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\) (do \(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}>0\forall n\in\mathbb{N}\text{ nên ta có thể nhân liên hợp}\))

Áp dụng vào và ta có:

\(VT=\sqrt{2}-1+\sqrt{3}-\sqrt{2}+...+\sqrt{2013^2}-\sqrt{2013^2-1}\)

\(=\sqrt{2013^2}-1=2013-1=2012^{\left(đpcm\right)}\)