Violympic toán 9

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Natsu Dragneel

CMR :

\(\frac{1}{2}+\frac{1}{3.\sqrt{2}}+\frac{1}{4.\sqrt{3}}+...+\frac{1}{2012.\sqrt{2011}}< 2\)

Nguyễn Việt Lâm
7 tháng 11 2019 lúc 14:50

\(\frac{1}{\left(n+1\right)\sqrt{n}}=\frac{\sqrt{n}}{n\left(n+1\right)}=\sqrt{n}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)=\sqrt{n}\left(\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right)\left(\frac{1}{\sqrt{n}}+\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right)\)

\(< \sqrt{n}\left(\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right)\left(\frac{1}{\sqrt{n}}+\frac{1}{\sqrt{n}}\right)=2\left(\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right)\)

\(\Rightarrow S< 2\left(\frac{1}{1}-\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{2011}}-\frac{1}{\sqrt{2012}}\right)\)

\(\Rightarrow S< 2\left(1-\frac{1}{\sqrt{2012}}\right)< 2.1=2\)

Khách vãng lai đã xóa

Các câu hỏi tương tự
Như Trần
Xem chi tiết
Thịnh Bùi
Xem chi tiết
Agami Raito
Xem chi tiết
le duc minh vuong
Xem chi tiết
Clgt
Xem chi tiết
Angela jolie
Xem chi tiết
Nguyễn Thị Kim chung
Xem chi tiết
Đẹp Trai Không Bao Giờ S...
Xem chi tiết
Aiken
Xem chi tiết