Cho tam giác nhọn $ABC$ có đường cao $AH$. Dựng hình chữ nhật $DEFG$ với $D\in AB,E\in AC$ và $F,G\in BC$ sao cho $DE=2EF.$ Tính diện tích của hình chữ nhật $DEFG$ theo $a$biết $BC=2a$ và $AH=2a.$

Cho điểm $O$ là trung điểm của đoạn thẳng $AB$. Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ $AB$ dựng nửa đường tròn tâm $O$ đường kính $AB$ và nửa đường tròn tâm $O'$ đường kính $AO$. Điểm $M$ thuộc nửa đường tròn $\left( O' \right)$ ($M$ khác $A,O$ và $MA>MO$), tia $OM$ cắt đường tròn $\left( O \right)$ tại $C$. Gọi $D$ là giao điểm thứ hai của $CA$ với nửa đường tròn $\left( O' \right)$.

a) Chứng minh rằng tam giác $ADM$ cân.

b) Gọi $N$ là điểm đối xứng của $A$ qua $M.$ Chứng minh điểm $N$ thuộc đường tròn $\left( O \right)$.

c) Gọi $E$ là giao điểm của hai tiếp tuyến tại $A$ và $C$ của đường tròn $\left( O \right)$. Chứng minh $\frac{1}{A{{C}^{2}}}-\frac{1}{A{{B}^{2}}}=\frac{1}{4C{{E}^{2}}}$.

a) Tìm tất cả các giá trị nguyên của phương trình ${{x}^{4}}+2{{x}^{3}}+2{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+2xy=0.$

b) Chứng minh rằng với mọi số nguyên $n$ lẻ thì ${{n}^{3}}+23n+72$ chia hết cho 24.

Cho a,b,c là các số thực thỏa mãn a + b + c = 3. CMR: \(\frac{1}{{2\sqrt a }} + \frac{1}{{2\sqrt b }} + \frac{1}{{2\sqrt c }} - \frac{3}{4} \le \frac{1}{4}\left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}} \right)\)