Cho tam giác nhọn $ABC$ có đường cao $AH$. Dựng hình chữ nhật $DEFG$ với $D\in AB,E\in AC$ và $F,G\in BC$ sao cho $DE=2EF.$ Tính diện tích của hình chữ nhật $DEFG$ theo $a$biết $BC=2a$ và $AH=2a.$
-Hình bạn tự dựng và vẽ.
Giải:
Dễ thấy: \(\Delta BDG\sim\Delta BAH\left(g.g\right)\)
\(\Rightarrow\frac{BG}{BH}=\frac{DG}{AH}\)(1)
Tương tự: \(\Delta CEF\sim\Delta CAH\left(g.g\right)\)
\(\Rightarrow\frac{CF}{CH}=\frac{EF}{AH}\)(2)
Lại có: DG=EF (DEFG là hcn) (3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra:
\(\frac{BG}{BH}=\frac{CF}{CH}\)
Áp dụng t/c của dãy tỉ số bằng nhau ta được:
\(\frac{BG}{BH}=\frac{CF}{CH}=\frac{BG+CF}{BH+CH}=\frac{BC-GF}{BC}=1-\frac{GF}{BC}\)
Từ (1) ta được: \(\frac{BG}{BH}=\frac{DG}{AH}\)
Do đó: \(\frac{DG}{AH}=1-\frac{GF}{BC}\)
\(\Leftrightarrow\frac{DG+GF}{2a}=1\)(vì BC=AH=2a)
\(\Leftrightarrow EF+DE=2a\)(DEFG là hcn nên DG=EF và GF=DE)
Lại có: DE=2EF (gt)
\(\Rightarrow3EF=2a\Leftrightarrow EF=\frac{2}{3}a\Rightarrow DE=\frac{4}{3}a\)
\(\Rightarrow S_{DEFG}=EF.DE=\frac{2}{3}a.\frac{4}{3}a=\frac{8}{9}a^2\)
