Violympic toán 9

Aiken

Cho tam giác nhọn $ABC$ có đường cao $AH$. Dựng hình chữ nhật $DEFG$ với $D\in AB,E\in AC$ và $F,G\in BC$ sao cho $DE=2EF.$ Tính diện tích của hình chữ nhật $DEFG$ theo $a$biết $BC=2a$ và $AH=2a.$

@Akai Haruma

@Nguyễn Việt Lâm

@Nguyễn Thành Trương

@Nk>↑@
9 tháng 6 2020 lúc 12:44

-Hình bạn tự dựng và vẽ.

Giải:

Dễ thấy: \(\Delta BDG\sim\Delta BAH\left(g.g\right)\)

\(\Rightarrow\frac{BG}{BH}=\frac{DG}{AH}\)(1)

Tương tự: \(\Delta CEF\sim\Delta CAH\left(g.g\right)\)

\(\Rightarrow\frac{CF}{CH}=\frac{EF}{AH}\)(2)

Lại có: DG=EF (DEFG là hcn) (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra:

\(\frac{BG}{BH}=\frac{CF}{CH}\)

Áp dụng t/c của dãy tỉ số bằng nhau ta được:

\(\frac{BG}{BH}=\frac{CF}{CH}=\frac{BG+CF}{BH+CH}=\frac{BC-GF}{BC}=1-\frac{GF}{BC}\)

Từ (1) ta được: \(\frac{BG}{BH}=\frac{DG}{AH}\)

Do đó: \(\frac{DG}{AH}=1-\frac{GF}{BC}\)

\(\Leftrightarrow\frac{DG+GF}{2a}=1\)(vì BC=AH=2a)

\(\Leftrightarrow EF+DE=2a\)(DEFG là hcn nên DG=EF và GF=DE)

Lại có: DE=2EF (gt)

\(\Rightarrow3EF=2a\Leftrightarrow EF=\frac{2}{3}a\Rightarrow DE=\frac{4}{3}a\)

\(\Rightarrow S_{DEFG}=EF.DE=\frac{2}{3}a.\frac{4}{3}a=\frac{8}{9}a^2\)

Bình luận (0)

Các câu hỏi tương tự
Big City Boy
Xem chi tiết
Big City Boy
Xem chi tiết
Big City Boy
Xem chi tiết
Hạ Vy
Xem chi tiết
Lê Gia Bảo
Xem chi tiết
Kim Ngân
Xem chi tiết
nguyen ngoc son
Xem chi tiết
Nguyễn Anh Kim Hân
Xem chi tiết
Băng
Xem chi tiết