cho \(\Delta ABC\left(\widehat{BAC}=90^o\right),AB< AC\). Đường cao AH
a, Cho BC = 5 cm, AH = 2cm. tính AB
b, Trên tia đối của HA lấy K sao cho HK = 2AH. Đường thẳng qua K vuông góc với CK , cắt AB tại I. Chứng minh: BA = BI
P/s: E làm được câu a rồi, mọi người giúp em câu b là được ạ!!!
Lời giải:
a) Đặt \(AB=x; AC=y\)
Theo định lý Pitago: \(x^2+y^2=AB^2+AC^2=BC^2=25(1)\)
\(xy=AB.AC=2S_{ABC}=AH.BC=10(2)\)
Từ (1);(2) kết hợp với điều kiện $x<y$ ta dễ dàng tìm được \(AB=\sqrt{5}(cm)\)
b)
Kẻ $ID\perp HK$ ($D\in HK$)
Xét tam giác $IDK$ và $KHC$ có:
\(\widehat{IDK}=\widehat{KHC}=90^0\)
\(\widehat{IKD}=90^0-\widehat{HKC}=\widehat{KCH}\)
\(\Rightarrow \triangle IDK\sim \triangle KHC(g.g)\)
\(\Rightarrow \frac{ID}{DK}=\frac{KH}{HC}=\frac{2AH}{HC}\)
Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông:
\(AH^2=BH.HC\Rightarrow \frac{AH}{HC}=\frac{BH}{AH}\)
Do đó: \(\frac{ID}{DK}=\frac{2BH}{AH}\Rightarrow \frac{BH}{ID}=\frac{AH}{2DK}(1)\)
Áp dụng định lý Ta-let khi \(BH\parallel ID\) ta có: \(\frac{BH}{ID}=\frac{AH}{AD}(2)\)
Từ \((1);(2)\Rightarrow 2DK=AD\)
\(\Leftrightarrow AD=2(HK-HD)=2HK-2HD=4AH-2HD\)
\(\Leftrightarrow AH+HD=4AH-2HD\)
\(\Leftrightarrow AH=HD\)
Áp dụng đl Ta-let \(\frac{AB}{BI}=\frac{AH}{HD}=1\Rightarrow AB=BI\)
