Lời giải:
Ta có bổ đề sau: Số lập phương $a^3$ khi chia $7$ thì có dư là $0,1,6$
Chứng minh:
Nếu \(a\equiv 0\pmod 7\Rightarrow a^3\equiv 0\pmod 7\)
Nếu \(a\equiv 1\pmod 7\Rightarrow a^3\equiv 1^3\equiv 1\pmod 7\)
Nếu \(a\equiv 2\pmod 7\Rightarrow a^3\equiv 2^3\equiv 1\pmod 7\)
Nếu \(a\equiv 3\pmod 7\Rightarrow a^3\equiv 3^3\equiv 6\pmod 7\)
Nếu \(a\equiv 4\pmod 7\Rightarrow a^3\equiv 4^3\equiv \pmod 7\)
Nếu \(a\equiv 5\equiv -2\pmod 7\Rightarrow a^3\equiv (-2)^3\equiv 6\pmod 7\)
Nếu \(a\equiv 6\equiv -1\pmod 7\Rightarrow a^3\equiv (-1)^3\equiv 6\pmod 7\)
Bổ đề đc cm.
Áp dụng vào bài toán:
\(a^7-a=a(a^6-1)=a(a^3-1)(a^3+1)\)
Nếu $a^3$ chia hết cho $7$ thì $a$ chia hết cho $7$
\(\Rightarrow A=a(a^3-1)(a^3+1)\vdots 7\)
Nếu $a^3$ chia $7$ dư $1$ \(\Rightarrow a^3-1\vdots 7\Rightarrow A\vdots 7\)
Nếu $a^3$ chia $7$ dư $6$ \(\Rightarrow a^3+1\vdots 7\Rightarrow A\vdots 7\)
Vậy $A\vdots 7$ với mọi số tự nhiên $a$
