Question

CMR: 

\(1^2+2^2+3^2+...+n^2=\frac{n.\left(n+1\right).\left(2n+1\right)}{6}\)

 

Answer 1

Xét trường hợp n chẵn 

1² + 2² + 3² + ... + n²

= [ 1² + 3² + ... + ( n - 1 ) ² ] + ( 2² + 4² + 6² + ... + n² )

= \(\frac{\left(n-1\right).n.\left(n+1\right)+n.\left(n+1\right).\left(n+2\right)}{6}\)

= \(\frac{n.\left(n+1\right).\left[\left(n-1\right).\left(n+2\right)\right]}{6}\)

= \(\frac{n.\left(n+1\right).\left(2n+1\right)}{6}\)

Xét trường hợp n lẻ ta có :

1² + 2² + 3² + ... + n²

= ( 1² + 3² + ... + n² ) + [ 2² + 4² +... + ( n - 1 ) ² ]

= \(\frac{n.\left(n+1\right).\left(n+2\right)+\left(n-1\right).n.\left(n+1\right)}{6}\)

\(=\frac{n.\left(n+1\right).\left[\left(n+2\right)+\left(n-1\right)\right]}{6}\)

= \(\frac{n.\left(n+1\right).\left(2n+1\right)}{6}\)

Answer 2

Do Not Ask Why

MÌnh không có thời gian trình bày nên bạn thông cảm nha :

Câu hỏi của Đinh Tuấn Việt - Toán lớp 6 - Học toán với OnlineMath

Answer 3

Đặt A = 1² + 2² + 3² +...+ n²

= 1(2 - 1) + 2(3 - 1) + 3(4 - 1) +...+ n[(n + 1) - 1]

= 1.2 - 1.1 + 2.3 - 2.1 + 3.4 - 3.1 +...+ n(n + 1) - n

= [1.2 + 2.3 + 3.4 +...+ n(n + 1)] - (1 + 2 + 3 +... + n)

Đặt B = 1.2 + 2.3  +...+ n(n + 1)

3B = 1.2(3 - 0) + 2.3(4 - 1) +...+ n(n + 1)[(n + 2) - (n - 1)]

3B = 1.2.3 - 0.1.2 + 2.3.4 - 1.2.3 +...+ n(n + 1)(n + 2) - (n - 1)n(n + 1)

3B = n(n + 1)(n + 2)

B = \(\frac{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}{3}\)

Đặt C = 1 + 2 +...+ n 

Số số hạng: (n + 1) : 1 + 1 = n (số)

Tổng: \(\frac{\left(n+1\right)n}{2}\)

Thay B và C vào A ta có:

\(A=\frac{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}{3}-\frac{n\left(n+1\right)}{2}=\frac{n\left(n+1\right)\left(2n+1\right)}{6}\)

Answer 4

Ta có :

n² + n + 1 = n . ( n + 1 ) + 1

Vì n . ( n + 1 ) là tích của hai số tự nhiên liên tiếp nên ⋮2 ⇒n . (  n + 1 ) + 1 là một số lẻ nên không chia hết cho 4

Vì n . ( n + 1 ) là tích của hai số tự nhiên liên tiếp nên không có tận cùng là 4 hoặc 9. Do đó n . ( n + 1 ) + 1 không có tận cùng là 0

hoặc 5 . Vì vậy, n² + n + 1 không chia hết cho 5

P/s đùng để ý đến câu trả lời của mình