\(x^2+y^2+z^2+t^2+k^2\ge x\left(y+z+t+k\right)\left(1\right)\)
<=>\(4x^2+4y^2+4z^2+4t^2+4k^2-4x\left(y+z+t+k\right)\ge0\)
<=>\(\left(x^2-4xy+4y^2\right)+\left(x^2-4xz+4z^2\right)+\left(x^2-4xt+4t^2\right)+\left(x^2-4xk+4k^2\right)\ge0\)
<=>\(\left(x-2y\right)^2+\left(x-2z\right)^2+\left(x-2t\right)^2+\left(x-2k\right)^2\ge0\left(2\right)\)
bđt (2) luôn đúng với mọi x,y,z nên bđt (1) luôn đúng.
Ủng hộ cách khác nehhh ( Nay t rảnh quá làm cho zui thôi)
Áp dụng bđt Cauchy:
\(\dfrac{x^2}{4}+y^2\ge xy\)
\(\dfrac{x^2}{4}+z^2\ge xz\)
\(\dfrac{x^2}{4}+t^2\ge xt\)
\(\dfrac{x^2}{4}+k^2\ge xk\)
Cộng theo vế:
\(x^2+y^2+z^2+t^2+k^2\ge x\left(y+z+t+k\right)\)
