Ta có: \(a^7-a=a\left(\left(a^2\right)^3-1\right)=a\left(a^2-1\right)\left(a^4+a^2+1\right)\)
\(=a\left(a-1\right)\left(a+1\right)\left[\left(a^4-13a^2+36\right)+\left(14a^2-35\right)\right]\)
\(=a\left(a-1\right)\left(a+1\right)\left(a^4-13a+36\right)+a\left(a-1\right)\left(a+1\right)\left(14a^2-35\right)\)
\(=a\left(a-1\right)\left(a+1\right)\left(a^2-4\right)\left(a^2-9\right)+7.a\left(a^2-1\right)\left(2a-5\right)\)
\(=a\left(a-1\right)\left(a+1\right)\left(a-2\right)\left(a+2\right)\left(a-3\right)\left(a+3\right)+7.a.\left(a^2-1\right)\left(2a-5\right)\)
Ta thấy a(a-1)(a+1)(a-2)(a+2)(a-3)(a+3) là tích của 7 số tự nhiên liên tiếp => tích đó chia hết cho 7
7a(a2-1)(2a-5) luôn chia hết cho 7
=> tổng 2 số trên chia hết cho 7
=> a7-a chia hết cho 7
