CM: \(4S\le a^2+b^2\)
Với S là diện tích tam giác với 2 cạnh a,b
Xét tam giác ABC có BC = a, AC = b, đường cao CH ứng với cạnh AB. Ta cần chứng minh: \(a^2+b^2\ge2.CH.AB=2.CH.\left(BH+AH\right)\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2\ge2.CH.\left(\sqrt{a^2-CH^2}+\sqrt{b^2-CH^2}\right)\)
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM với dạng \(2\sqrt{xy}\le x+y\)
Ta có:
\(2.CH.\sqrt{a^2-CH^2}=2\sqrt{CH^2.\left(a^2-CH^2\right)}\le CH^2+a^2-CH^2=a^2\) (1)
Tương tự: \(2.CH.\sqrt{b^2-CH^2}\le b^2\) (2)
Cộng theo vế 2 bất đẳng thức (1) và (2) ta thu được đpcm.
Ta có
\(S=\frac{ab}{2}\) \(\Rightarrow4S=4\times\frac{ab}{2}=2ab\)
Ta có:
\(a^2+b^2-2ab=\left(a-b\right)^2\ge0\) (Dấu \(=\) xảy ra khi \(a=b\))
Vậy \(4S\le a^2+b^2\) với S là diện tích tam giác hai cạnh a,b \(\Rightarrow\) đpcm
