Ta có S = abc + bca + cab
<=> S =( 100a + 10b + c)+ ( 100b + 10c + a) + ( 100c + 10a + b )
<=> S = 100a + 10b + c + 100b + 10c + a + 100c + 10a + b
<=> S = 111a + 111b + 111c => S = 111( a + b + c ) = 37 . 3 (a + b + c)
Giả sử S là số chính phương thì S phải chứa thừa số nguyên tố 37 với số mũ chẵn nên 3(a + b + c) chia hết 37
Suy ra : a+b+c chia hết cho 37
Điều này không xảy ra vì 1 ≤ a + b + c ≤ 27
Vậy S = abc + bca + cab không phải là số chính phương
Ta có: S=abc+bca+cab=100a+10b+c+100b+10c+a+100c+10a+b
=111a+111b+111c
=111.(a+b+c)
=3.37.(a+b+c)
Giả sử S là số chính phương thì S phải chứa thừa số 37 với số mũ chẵn
=> 3.(a+b+c) chia hết cho 37
=>(a+b+c) chia hết cho 37(vì 3 không chia hết cho 37)
Vì 0\(\le\)a,b,c<10
=>0\(\le\)a+b+c\(\le\)27
=> a+b+c không chia hết cho 37
Vậy S=abc+bca+cab không là số chính phương
S=abc+bca+cab=
(1000a+10b+c) +(1000b+10c+a)+(1000c+10a+b)=
1011*(a+b+c) =3*337*(a+b+c)
Do 3 & 337 là số nguyên tố, để S là số chính phương thì tổng a+b+c phải bằng 3*337 hoặc là (3*337)^(2n+1) (*)
Tuy nhiên do a,b,c<=9 => a+b+c<=27 nên không thể nào thỏa mãn (*)
Vậy không tồn tại số chính phương S
S= abc +bca+cab
=a.100 +b.10 +c.1 + b.100+ c.10+a.1 + c.100+ a.10+b.1
=abc + bca +cab. 111+111+111
mà 333 không phải là số chính phương
nên : abc+bca+cab không phải là số chính phương
