Question

Chứng tỏ rằng với mọi số nguyên n, các phân số sau là phân số tối giản:

a) \(\frac{15n+1}{30n+1}\)                              b) \(\frac{n^3+3n}{n^4+3n^2+1}\)

Answer 1

a) Đặt \(d=\left(15n+1,30n+1\right)\).

Suy ra \(\hept{\begin{cases}15n+1⋮d\\30n+1⋮d\end{cases}}\Rightarrow2\left(15n+1\right)-\left(30n+1\right)=1⋮d\)

\(\Rightarrow d=1\).

Suy ra đpcm.

b) Đặt \(d=\left(n^3+3n,n^4+3n^2+1\right)\).

Suy ra \(\hept{\begin{cases}n^3+3n⋮d\\n^4+3n^2+1⋮d\end{cases}}\Rightarrow\left(n^4+3n^2+1\right)-n\left(n^3+3n\right)=1⋮d\)

\(\Rightarrow d=1\).

Suy ra đpcm.