Chọn dãy:
2;22;222;222;...;22..2(32 c/s 2)
Chắc chắn trong dãy có ít nhất 2 số có cùng số dư khi chia cho 31
Gọi 2 số đó là:
22..2(a c/s 2); 22..2(b c/s 2) [1< a < b < 31]
=> 22..2(b c/s 2) - 22..2(a c/s 2)
=>22..200..0 [b-a c/s 2; a c/s 0]
=>22..2(b-a c/s 2) x 10a
Vì (10, 31)=1 => (10a,31)=1
=> 22..2 (b-a c/s 2) chia hết cho 31