Gọi d là ƯCLN của n+1 và 2n+1
Ta có: n+1 chia hết cho d
2n+1 chia hết cho d
=> 2(n+1) chi hết cho d => 2n+2 chia hết cho d
2n+1 chia hết cho d
Vì 2n+2 - (2n+1) chia hết cho d
Nên 1 chia hết cho d với mọi số tự nhiên n
=> d =1
Vậy phân số \(\frac{n+1}{2n+1}\)là phân số tối giản với mọi số tự nhiên n
Cho ước chung lớn nhất của n+1 và 2n+3 là d
Ta có : n+1 chia hết cho d -> 2(n+1) cũng chia hết cho d
-> 2n+3 - 2(n+1) chia hết cho d (nếu 2 số cùng chia hết cho 1 số a thì tổng hoặc hiệu của 2 số đó cũng chia hết cho a)
-> 2n+3 - (2n+2) chia hết cho d
-> 1 chia hết cho d
-> n+1 và 2n +3 là 2 số nguyên tố cùng nhau
\(\frac{n+1}{2n+3}\) đã tối giản với mọi số tự nhiên n
Đặt ƯCLN(n+1;2n+3) là d
=> n+1 chia hết cho d; 2n+3 chia hết cho d
=> 2.(n+1) chia hết cho d;2n+3 chia hết cho d
=> 2n+2 chia hết cho d; 2n+3 chia hết cho d
=>(2n+3) - (2n+2) chia hết cho d
=> 1 chia hết cho d
=> d = +1; -1
=> ƯCLN(n+1;2n+3) = 1
=>phân số \(\frac{n+1}{2n+3}\) là phân số tối giản với mọi số tự nhiên n
Gọi d = ƯCLN ( n + 1 ; 2n + 3 )
Ta có :
n + 1 \(⋮\)d ; 2n + 3 \(⋮\)d
=> 2 ( n + 1 ) \(⋮\)d
=> 2n + 2 \(⋮\)d
=> ( 2n + 3 ) - ( 2n + 2 ) \(⋮\)d
=> 1 \(⋮\)d
Vậy .........
Gọi d là ƯCLN(n + 1, 2n + 3), d ∈ N*
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}n+1⋮d\\2n+3⋮d\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}2\left(n+1\right)⋮d\\2n+3⋮d\end{cases}\Rightarrow}\hept{\begin{cases}2n+2⋮d\\2n+3⋮d\end{cases}}}\)
\(\Rightarrow\left(2n+3\right)-\left(2n+2\right)⋮d\)
\(\Rightarrow1⋮d\)
\(\Rightarrow d=1\)
\(\RightarrowƯCLN\left(n+1,2n+3\right)=1\)
\(\Rightarrow\frac{n+1}{2n+3}\) là phân số tối giản.
Gọi d = ƯCLN ( n + 1 ; 2n + 3 )
Ta có :
n + 1 ⋮d ; 2n + 3 ⋮d
=> 2 ( n + 1 ) ⋮d
=> 2n + 2 ⋮d
=> ( 2n + 3 ) - ( 2n + 2 ) ⋮d
=> 1 ⋮d
Vậy .........
:3
gọi d là ƯCLN của \(\frac{n+1}{2n+3}\)ta có:
\(\text{(2n+3)-(n-1) ⋮d}\)
\(\Rightarrow\left(2n+3\right)-2\left(n+1\right)⋮d\)
\(\Rightarrow2n+3-2n-2⋮d\)
\(\Rightarrow2n-2n+3-2⋮d\)
\(\Rightarrow1⋮d\Rightarrow d=1\)
vậy \(\frac{n+1}{2n+3}\)là p/s tối giản
