Question

Chứng tỏ rằng nếu p là số nguyên tố và p >3 thì :  ( p - 1 ) . ( p + 1 ) chia hết cho 24

Answer 1

P là số nguyên tố lớn hơn 3 => P không chia hết cho 2 cho 3 

Ta có :P không chia hết cho 2

=> P-1 và P+1 là 2 số chẵn liên tiếp => (P-1)(P+1) chia hết cho 8 (1)

Mặt khác:P không chia hết cho 3

Nếu P= 3k +1 thì P-1 =3k chia hết cho 3 => (P-1(P+1) chia hết cho 3

Tương tự: Nếu P= 3k+2 thì P+1=3k +3 chia hết cho 3 => (P-1(P+1) chia hết cho 3(2)

Từ (1)(2)=>(P-1)(P+1) chia hết cho 8 cho 3 mà (8;3)=1 =>(P-1)(P+1) chia hết cho 24

Answer 2

 số nguyên tố lớn hơn 3 có dạng p=3k+1 hoặc p=3k+2 xét 2 trường hợp này rồi ra

Answer 3

vì p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p là số lẻ và khi chia p cho 3 số dư có thể là 1 hoặc 2

trường hợp 1 ; nếu p chia cho 3 dư 1 thì p-1 chia hết  cho 3 do đó (p-1)(p+1) chia hết cho 3  

tường hợp 2 ;nếu p chia hết cho 3 dư 2 thì p+1 chia hết cho 3 do đó (p-1)(p+1) chia hết cho 3 

vì p là số lẻ nên (p-1)(p+1) là hai số chẵn liên tiếp do dó (p-1)(p+10 chia hết cho 8 ( tích của 2 số chẵn liên tiếp chia hết cho 8)mà(p-1)(p+1)chia hết cho 3 và BCNN(3;8) = 24 nên (p-1)(p+1) chia hết cho 24 

Answer 4

p là số nguyên tố > 3 nên p không chia hết cho 3, do đó p = 3k + 1 hoặc p = 3k + 2. 
- Nếu p = 3k + 1 thì p - 1 = 3k chia hết cho 3 -> (p - 1)(p + 1) chia hết cho 3 (1) 
- Nếu p = 3k - 1 thì p + 1 = 3k chia hết cho 3 -> (p - 1)(p + 1) chia hết cho 3 (2) 
Từ (1) và (2) -> (p-1)(p+1) luôn chia hết cho 3 (3) 
Mặt khác, p là số nguyên tố > 3 nên p là số lẻ -> p = 2h + 1 -> (p - 1)(p + 1) = (2h + 1 - 1)(2h + 1 + 1) = 2h(2h + 2) = 4h(h +1) 
h(h + 1) là tích của 2 số tự nhiên liên tiếp -> h(h + 1) chia hết cho 2 -> 4h(h + 1) chia hết cho 8 -> (p - 1)(p + 1) chia hết cho 8 (4) 
Ta lại có: 3 và 8 là 2 số nguyên tố cùng nhau (5) 
Từ (3), (4) và (5) -> (p - 1)(p + 1) chia hết cho 24.