Question

Chứng tỏ rằng có 1 số tự nhiên chia hết cho 23 mà số đó được viết toàn bộ bằng chữ số 3.

Answer 1

Xét 24 số: 3 ; 33 ; 333 ; ...... ; 3333...333333

                                             24 chữ số 3

Có 24 số mà chỉ có 23 trường hợp về số dư trong phép chia hcho 13 nên theo nguyên lý Đi rích lê thì có ít nhất 2 số có cùng số dư trong phép chia cho 23.

Gọi 2 số đó là 3333......3333 và 3333.....3333 (giả sử 1≤m < n≤14)

                       m chữ số 3        n chữ số 3

⇒333333.......333 - 33333....333 chia hết cho 13 => 33333.......33333 00000...00000 chia hết  

      n chữ số 3         m chữ số 3                                n - m chữ số 3     m chữ số  

cho 13 => 33333.....33333 . 10^m chia hết cho 23 

                n - m chữ số 3     

Mà (10^m , 23) = 1 => 3333.....33333 chia hết cho 23 

                               n - m chữ số 3

Mà 33333......33333 thuộc dãy đã cho.

      n - m chữ số 3

Vậy có một số tự nhiên chia hết cho 23 mà số đó được viết toàn bộ bằng chữ số 3.

Answer 2

Nguyên lý Đirichlê:

Xét 24 số: 3; 33; 333; ....; 33...3(24 chữ số 3)

Có 24 số mà chỉ có 23 số dư trong phép chia cho 23, do đó tồn tại hai số có cùng số dư trong phép chia cho 23. Gọi 2 số đó là: 33...3 (m chữ số 3) và 33...3(n chữ số 3)    với \(1\le n\le m\le24\)

Hiệu của chúng là:33...3 (m chữ số 3) - 33...3(n chữ số 3)= 33...3 (m-n chữ số 3)00...0(n chữ số 0) chia hết cho 23 hay 33...3(m-n chữ số 3).10ⁿ chia hết cho 23.

Vì ƯCLN(10ⁿ;13) suy ra 33...3(m-n chữ số 3) chia hết cho 23.

Tức là tồn tại một bội của 23 gồm toàn chữ số 3.