Gọi \(d=UCLN\left(n+1,2n+3\right)\) \(\left(d\inℕ^∗\right)\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}n+1⋮d\\2n+3⋮d\end{cases}}\)\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}2n+2⋮d\\2n+3⋮d\end{cases}}\)
=> ( 2n + 3 ) - ( 2n + 2 ) \(⋮\)d
1 \(⋮\)d
=> d = 1
=> \(\frac{n+1}{2n+3}\)là phân số tối giản
Gọi d là ƯCLN\((n+1,2n+3)\)
Ta có : \(\hept{\begin{cases}n+1⋮d\\2n+3⋮d\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}2(n+1)⋮d\\2n+3⋮d\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}2n+2⋮d\\2n+3⋮d\end{cases}}\)
\((2n+3)-(2n+2)⋮d\)
\(\Rightarrow1⋮d\Rightarrow d=1\)
Do đó : \(\frac{n+1}{2n+3}\)là phân số tối giản\((đpcm)\)
gọi a là ƯCLN(n+1,2n+3)
n+1 chia hết cho a =>2(n+1) chia hết cho a=> 2n+2 chia hết cho a
2n+3 chia hết cho a ;2n+2 chia hết cho a
(2n+3)-(2n+2) chia hết cho a =>1 chia hết cho a
=>ƯCLN((n+1,2n+3)=1 hoặc -1
=> phân số đó tối giản
Gọi ƯCLN(n+1;2n+3)là x
Suy ra: n+1 chia hết cho x; 2n+3 chia hết cho x (kí hiệu chia hết bạn tự ghi nhé)
2(n+1) chia hết cho x; 2n+3 chia hết cho x
2n+2 chia hết cho x; 2n+3 chia hết cho x
Do đó: (2n+2)-(2n+3) chia hết cho x
-1 chia hết cho x
=> x=1
Vậy n+1 phần 2n+3 là phân số tối giản
Gọi d là ƯC(n + 1; 2n + 3)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}n+1⋮d\\2n+3⋮d\end{cases}\Rightarrow}\hept{\begin{cases}2\left(n+1\right)⋮d\\2n+3⋮d\end{cases}\Rightarrow}\hept{\begin{cases}2n+2⋮d\\2n+3⋮d\end{cases}}\)
=> ( 2n + 3 ) - ( 2n + 2 ) chia hết cho d
=> 1 chia hết cho d
=> d = 1
=> ƯCLN(n + 1 ; 2n + 3) = 1
=> Tối giản ( đpcm )
