Giả sử, a không phải là 1 số vô tỉ. Khi đó a là một số thập phân vô hạn tuần hoàn mà chu kì có n chữ số, số các chữ số đứng trước chu kì bằng k. Xét số N = 10^m với m là 1 số tự nhiên và \(m\ge n+k\). Trong số a, sau dấu phẩy, ta viết kế tiếp nhau các số tự nhiên kể từ 1, do đó số N cũng được viết ở một vị trí nào đó. Vì a là số thập phân vô hạn tuần hoàn và vì m là chữ số 0 đứng cạnh nhau ở vị trí nào đó trong số a \(\left(m\ge n+k\right)\)nên chu kì của số thập phân này chỉ gồm toàn chữ số 0, nghĩa là a là số thập phân hữu hạn. Điều này mâu thuẫn với đề bài. Vì vậy số a không thể là một số thập phân vô hạn tuần hoàn. Nó là một số thập phân vô hạn không tuần hoàn nghĩa là a là một số vô tỉ.
#)Giải :
Giả sử a là số vô tỉ với chu kì = k
Xét A = 10m với m là số tự nhiên
Vì số a sau dấu phẩy là các số tự nhiên liên tiếp viết từ 1
=> Số A cũng sẽ nằm ở một vị trí nào đó
Vì a là lũy thừa của 10m hay m số 0
=> a là số hữu hạn (mâu thuẫn với đề bài)
=> a là số thập phân vô hạn không tuần hoàn hay số vô tỉ (đpcm)
