\(x+\sqrt{x^2-x+1}>0\)
\(\Rightarrow x+\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}}>0\)
\(\Rightarrow\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}}>-x\)
\(\Rightarrow\left(x-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{9}{16}>x^2\)
\(\Rightarrow\left(x-\frac{1}{2}\right)^2+x^2+\frac{9}{16}>0\) với mọi x
bây h giải bpt trên : \(x+\sqrt{x^2-x+1}>0\)
<=> \(\sqrt{x^2-x+1}\)>-x
TH1: \(\begin{cases}-x< 0\\x^2-x+1\ge0\end{cases}\)<=>\(\begin{cases}x>0\\x\in R\end{cases}\)=> x>0
TH2: \(\begin{cases}-x\ge0\\x^2-x+1>x^2\end{cases}\)<=> \(\begin{cases}x\le0\\x< 1\end{cases}\)=> x\(\le\)0
kết hợp 2 TH
tập nghiệm x \(\in\)R
=> ĐPCM
Ta có : \(x+\sqrt{x^2-x+1}=x+\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}}\)
Đến đây ta xét hai trường hợp :
1. Nếu \(x\ge0\) , dễ thấy đpcm vì \(\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}}\ge\frac{\sqrt{3}}{2}>0\)
2. Nếu x < 0 , giả sử \(x=-a\) (\(a\in R,a>0\))
Khi đó ta có : \(x+\sqrt{x^2-x+1}=-a+\sqrt{a^2+a+1}\)
Ta sẽ chứng minh \(\sqrt{a^2+a+1}>a\)
Điều này tương đương với \(a^2+a+1>a^2\Leftrightarrow a+1>0\)(luôn đúng)
Vậy ta có đpcm.
Xét f(x)= x+\(\sqrt{x^2-x+1}\) , ta có: f(x)=0\(\Leftrightarrow\)\(\sqrt{x^2-x+1}\)= - x \(\Leftrightarrow\) \(\begin{cases}x\le0\\x^2-x+1=x^2\end{cases}\) \(\Leftrightarrow\) \(\begin{cases}x\le0\\x=1\end{cases}\) vô lí \(\Rightarrow\) vô nghiệm \(\Rightarrow\) đồ thì f(x) không cắt Ox, mà f(1)=2 > 0 \(\Rightarrow\) f(x) > 0, với mọi x \(\in R\)
Mọi người xem thử chứng minh cách này có được không? có sai gì không vậy?
