Question

Chứng minh : Với mọi n lẻ ta luôn có : \(n^3+3n^2-n-3\) chia hết cho 48 .

Answer 1

\(n^3+3n^2-n-3\)

\(=n^2\left(n+3\right)-\left(n+3\right)\)

\(=\left(n+1\right)\left(n-1\right)\left(n+3\right)\)

Vì n là số lẻ => \(n-1;n+1;n+3\) là 3 số chẵn liên tiếp

Mà 3 số chẵn liên tiếp luôn \(⋮48\)

\(\Rightarrowđpcm\)

Answer 2

\(n^3+3n^2-n-3\)

\(=n^2\times\left(n+3\right)-\left(n+3\right)\)

\(=\left(n+3\right)\times\left(n^2-1\right)\)

\(=\left(n+3\right)\times\left(n-1\right)\times\left(n+1\right)\)

Vì n là số lẻ nên \(n⋮̸2\)

\(\Rightarrow n+3⋮2;n-1⋮2;n+1⋮2\)

\(\Rightarrow\left(n+3\right)\times\left(n-1\right)\times\left(n+1\right)⋮48\)

\(\Rightarrow n^3+3n^2-n-3⋮48\)