Để chứng minh rằng tồn tại một số có dạng 20232023...2023 chia hết cho 19, ta sẽ chứng minh rằng tồn tại một số nguyên n sao cho số nguyên s có dạng sau chia hết cho 19:
s = 20232023...2023 (n chữ số 2023)
Ta có thể biểu diễn s dưới dạng:
s = 2023 x 10⁰ + 2023 x 10¹ + 2023 x 10² + ... + 2023 x 10^(n-1)
= 2023 x (10⁰ + 10¹ + 10² + ... + 10^(n-1))
Để dễ dàng chứng minh, ta sẽ tính tổng sau đây:
10⁰ + 10¹ + 10² + ... + 10^(n-1) = (10⁰ - 1) + (10¹ - 1) + (10² - 1) + ... + (10^(n-1) - 1) + n
= 111...1 (n số 1) + n
= (n + 1) x 111...1 (n số 1)
Do đó:
s = 2023 x (n + 1) x 111...1 (n số 1)
Ta có thể dễ dàng thấy rằng 19 chia hết cho 2023, do đó ta chỉ cần chứng minh rằng (n + 1) x 111...1 (n số 1) chia hết cho 19.
Ta có:
111...1 (n số 1) = (10⁰ + 10¹ + 10² + ... + 10^(n-1)) / 9
= [(10⁰ - 1) + (10¹ - 1) + (10² - 1) + ... + (10^(n-1) - 1)] / 9
= [(n + 1) x 111...1 (n số 1)] / 9
Do đó:
s = 2023 x (n + 1) x [(n + 1) x 111...1 (n số 1)] / 9
= 19 x 1064819 x (n + 1) x [(n + 1) x 111...1 (n số 1)] / (19 x 9)
Như vậy, ta chỉ cần chọn một số nguyên n sao cho (n + 1) x 111...1 (n số 1) chia hết cho 19. Vì 19 là số nguyên tố và không chia hết cho 3, nên ta có thể chọn n = 18, để (n + 1) x 111...1 (n số 1) chia hết cho 19. Vì vậy, tồn tại một số có dạng 20232023...2023 (18 chữ số 2023) chia hết cho 19.
bạn ơi tại sao 202320323...2023 lại được biểu diễn như câu trả lời
vd 2023 nhân 10^0 +2023 nhân 10^1=22253
