Question

Chứng minh tích của 4 số tự nhiên liên tiếp cộng 1 luôn là số chính phương.

Answer 1

Gọi 4 số tự nhiên, liên tiêp đó là n, n + 1, n+ 2, n + 3 (n ∈ N). Ta có

n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + 1 = n.(n + 3(n + 1)(n + 2) + 1

= (n² + 3n)( n² + 3n + 2) + 1 (*)

Đặt n² + 3n = t (t ∈ N) thì (*) = t( t + 2 ) + 1 = t² + 2t + 1 = (t + 1)² = (n² + 3n + 1)²

Vì n ∈ N nên n² + 3n + 1 ∈ N Vậy n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + 1 là số chính phương.

Answer 2

Gọi 4 số tự nhiên, liên tiêp đó là n, n + 1, n+ 2, n + 3 (n ∈ N). Ta có

n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + 1 = n.(n + 3(n + 1)(n + 2) + 1

= (n² + 3n)( n² + 3n + 2) + 1 (*)

Đặt n² + 3n = t (t ∈ N) thì (*) = t( t + 2 ) + 1 = t² + 2t + 1 = (t + 1)² = (n² + 3n + 1)²

Vì n ∈ N nên n² + 3n + 1 ∈ N Vậy n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + 1 là số chính phương.

Answer 3

Gọi 4 số tự nhiên, liên tiêp đó là n, n + 1, n+ 2, n + 3 (n ∈ N). Ta có

n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + 1 = n.(n + 3(n + 1)(n + 2) + 1

= (n² + 3n)( n² + 3n + 2) + 1 (*)

Đặt n² + 3n = t (t ∈ N) thì (*) = t( t + 2 ) + 1 = t² + 2t + 1 = (t + 1)² = (n² + 3n + 1)²

Vì n ∈ N nên n² + 3n + 1 ∈ N Vậy n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + 1 là số chính phương.