Hai số tự nhiên liên tiếp gồm một số lẻ và một số chẵn
\(\Rightarrow2n\left(2n+1\right)⋮2\)
Mà \(3n+1\)là số lẻ nên....
gọi tích hai stn liên tiếp là \(n\left(n+1\right)=n^2+n\left(n\in N\right)\)
giả sử tích hai stn liên tiếp có dạng 3n+1
suy ra \(n^2+n=3n+1\Leftrightarrow n^2-2n+1=2\Leftrightarrow\left(n-1\right)^2=2\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}n-1=\sqrt{2}\\n-1=-\sqrt{2}\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}n=\sqrt{2}+1\\n=-\sqrt{2+1}\end{cases}}\)
mà n là số tự nhiên nên ...
\(2n\left(2n+1\right)\)là số chẵn
3n +1 không chia hết cho 3
Vậy ta cần chứng minh 2n(2n+1) là một số chia hết cho 3
Giả sử 2n không chia hết cho 3
\(2n=3k+1\)
\(\Rightarrow2n+1=3k+2\)
\(\Rightarrow2n\left(2n+1\right)=\left(3k+1\right)\left(3k+2\right)=9n^2+9n+2\)chia 3 dư 2
Vậy tích 2n(2n+1) chia 3 dư 2
Với \(2n=3k+2\)
\(\Rightarrow2n+1=3k+3\)
\(\Rightarrow2n\left(2n+1\right)=3\left(k+3\right)\left(3k+2\right)⋮3\)
C/m tương tự vói 2k+1 nhé bạn
\(2n+1\)không chia hết cho 3
\(\Rightarrow2n+1=3k+1\)
\(\Rightarrow2n=3k\Leftrightarrow2n\left(2n+1\right)=3\left(3k+1\right)k⋮3\)
\(2n+1=3k+2\Rightarrow2n=3k+1\)giống với TH trên
