Giả sử \(\sqrt{3}\) là một số hữu tỷ
Đặt \(\sqrt{3}=\frac{a}{b}\)(\(a,b\in Z\), \(b\ne0\), \(UCLN\left(a,b\right)=1\))
\(\Rightarrow3=\frac{a^2}{b^2}\Leftrightarrow a^2=3b^2\Rightarrow a^2\)chia hết cho 3 do UCLN(a,b) = 1
\(\Rightarrow a\) chia hết cho 3
Đặt \(a=3k\) (\(k\in Z\), \(UCLN\left(a,k\right)=1\))
Vì \(UCLN\left(a,b\right)=1\) và \(UCLN\left(a,k\right)=1\)
Nên \(UCLN\left(b,k\right)=1\)
Ta có : \(3=\frac{a^2}{b^2}\Rightarrow3=\frac{\left(3k\right)^2}{b^2}\Rightarrow9k^2=3b^2\Leftrightarrow b^2=3k^2\Rightarrow b^2\)chia hết cho 3 do \(UCLN\left(b,k\right)=1\)
\(\Rightarrow b\) chia hết cho 3
Mà \(a\) chia hết cho 3 \(\Rightarrow UCLN\left(a,b\right)=3\) ( Vô lý! )
Vậy \(\sqrt{3}\) không phải là số hữu tỷ mà là số vô tỷ
Vậy \(\sqrt{3}\) không phải là số tự nhiên
